Euler's Eyes
2026-10-11
两个圆的相对位置
两个圆可以是正割的、相切的、一个在另一个圆的内部或相距很远。中心之间的距离决定了情况。
谁发现的
基本情况是欧几里德（公元前300）的几何原本：两个不同的圆最多相交于两个点（命题III.10），并且当它们接触时，接触点位于连接圆心的直线上（III.11 和 III.12）。一个世纪后，Apollonius of Perga提出了关于该主题的最著名的问题：给定三个圆，为所有圆画第四条切线。
故事
阿波罗尼乌斯关于切线的书丢失了。在1600中，法国人François Viète用尺子和圆规重构了一个解，这个问题开始被牛顿、欧拉和高斯研究。一般来说，有八种解决方案。
阿波罗尼乌斯的问题又回到了 20 世纪的场景：从到三个已知电台的距离中找到一个点与之相关，无线电定位技术就利用了这一推理。
在日常生活中
- 齿轮和滑轮。 互锁链轮由切圆建模；轴之间的距离是半径之和。
- 奥林匹克五环和维恩图。 割圆表示具有共同元素的集合。
- **水中的波浪。**将两块石头扔进湖中会产生在两点相交的圆形波浪。
- **手机的位置。**已知到两个天线的距离，该设备位于圆周相交的两个点之一；第三根天线消除了疑虑。
来源： 元素，命题 III.10 · Apollonius (MacTutor) · Viète (MacTutor)。
理论与结构
Resumo两个圆圈
为 $\lambda_1(O_1, r_1)$ 和 $\lambda_2(O_2, r_2)$，以及 $r_1 > r_2$ 和 $d$ 中心之间的距离：
| 状况 | 位置 |
|---|---|
| $d < r_1 - r_2$ | $\lambda_2$ 内部 到 $\lambda_1$（如果 $d = 0$，同心） |
| $d = r_1 - r_2$ | 内切线 |
| $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ | 割线（两个公共点） |
| $d = r_1 + r_2$ | 外切线 |
| $d > r_1 + r_2$ | 外部 |