Euler's Eyes
2026-10-11
直线和圆的相对位置
一条直线可以在两点处切开一个圆，也可以只接触一个圆，或者穿过很远的地方。只接触的线是切线。
谁发现的
切线性质位于 Euclid 的 几何原本 的第三卷中（c. 300 BC）。 命题 III.16 表明垂直于半径的直线在其端点处与圆相切，而 III.18 证明了相反的情况：切线在接触点垂直于半径。 tangent 这个词来自拉丁语 tangere，“触摸”。
故事
命题 III.16 引发了几何学中最长的争议之一。欧几里得指出，圆和切线之间的“角度”小于直线形成的任何角度。这个应急角度将大于零并且小于任何角度——这很奇怪。在 16 世纪，Jacques Peletier 和 Cristovão Clávio 争论了他是否真的是一个角度；几个世纪后这个问题才得到很好的解决。
切线也是微分学的起点。 17 世纪，费马、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨正在寻找一种绘制任意曲线切线的方法，而导数作为答案诞生了。
在日常生活中
- 车轮落在地面上。 车轮在一个点接触街道；街道与车轮相切。
- 来自研磨机的火花。 火花与旋转的石头相切，从轮胎中流出的泥浆也是如此。
- 吊索和锤子投掷。 释放物体后，物体将沿着圆形路径的切线运动。
- **道路曲线。**工程师将直线段和曲线段切向连接，这样方向盘就不需要“摇晃”。
来源： 元素，命题 III.16 · 元素，命题 III.18 · Clávio (MacTutor)。
理论与结构
Definição割线、切线和外线
- 如果一条直线与圆相交于两个不同的点，则该直线与圆割线。
- 如果它相交于一点（切点），则它是相切；线上的其他点是外部的。
- 如果不拦截的话就是外部。
Propriedade干燥性能
a) 如果割线在 $A$ 和 $B$ 处切割圆，并且 $M$ 是弦 $\overline{AB}$ ($M \neq O$) 的中点，则 $\overline{OM} \perp \overline{AB}$（三角形 $OAM$ 和 $OBM$ 中的 LLL 情况）。
b) 相反，通过中心绘制的弦的垂线穿过弦的中点（斜边情况）。
结果：字符串的垂直平分线穿过中心。
Teorema切线性质
a) 每条垂直于其末端（圆上）半径的直线都与圆相切。
b) 每条切线都垂直于切点处的半径。
查看演示
a) 令$t \perp \overline{OT}$位于$T$中，$E$为$t$的另一个点。线段 $\overline{OE}$ 是倾斜的，$\overline{OT}$ 垂直于 $t$，因此 $OE > OT = r$: $E$ 是外部的。所以 $t$ 与圆有一个共同点：它是相切的。
b) 如果 $t$ 不垂直于 $\overline{OT}$，则令 $M$ 为 $t$ 与 $O$ ($M \neq T$) 垂直的底脚。在 $\overrightarrow{MT}$ 与 $MX = MT$ 相对的射线上取 $X$，三角形 $OMX$ 和 $OMT$ 将是全等的 (LAL)，并且 $OX = OT = r$: $X$ 将在圆周上，而 $t$ 将在两点处切割它 - 荒谬。
Resumo直线和圆周
$d$ 为中心到直线的距离：
| $d < r$ | $d = r$ | $d > r$ |
|---|---|---|
| 割线（2 点） | 切线（1 点） | 外观（无分） |