Euler's Eyes
2026-10-11
定义和要素
所有点到中心的距离都相同：圆的定义适合一条直线，但它隐藏了数字 π。
谁发现的
圆圈是人类历史上最古老的形式之一，从美索不达米亚的轮子（约公元前 3500 BC）到石碑。严格的定义来自欧几里得（几何原本的定义I.15到I.18）：由一条线限定的图形，该线的所有点与内部点（中心）的距离相同。他的第三个公设保证可以以任意圆心和任意半径绘制圆。第一个准确计算轮廓与直径之比的人是阿基米德（公元前3世纪）。
故事
所有圆圈都具有相同的形状，只是大小发生变化。因此，长度 $C$ 和直径 $2R$ 之间的比率始终相同 - 我们今天称之为 π 的数字。巴比伦人使用3或$3\tfrac{1}{8}$； Rhind 纸莎草给出的值接近 3,16。
阿基米德将圆包围在具有 96 条边（一条内接一条外接）的多边形之间，并得出 π 位于 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间的结论。符号 π 由威尔士人 William Jones 在 1706 中使用，并由 Euler 推广。
在日常生活中
- **轮子。**轮子可以平稳旋转，因为边缘上的所有点到轴的距离都相同。
- **井盖。**它们是圆形的，因为圆不会从任何位置的开口落下。
- 披萨和时钟。 披萨片是圆形扇形；时钟的指针是扫过表盘的射线。
- 指南针和 GPS。 天线或无线电信号从一个点的范围是一个圆。
来源： 元素，定义 I.15 · 阿基米德 (MacTutor) · π 的历史 (MacTutor)。
理论与结构
Definição圆周
圆周是平面上的点集，其到该平面上给定点（中心）的距离等于给定的非零距离（半径）：
$$\lambda(O, r) = \lbrace P \in \alpha \mid d_{P,O} = r \rbrace.$$点的位置。如果 $d_{X,O} < r$，点 $X$ 是圆的内部；如果 $d_{X,O} = r$，则属于圆；如果 $d_{X,O} > r$，则外部。内部点的集合是内部；外部的，外部。
Definição弦、直径、半径和圆弧
- 绳索是一段末端在圆上的线段。 直径是穿过中心的弦。 半径是从中心到圆周上一点的线段。
- 如果$A$和$B$在圆上且不是直径的端点，则短圆弧$\overset{\frown}{AB}$由$A$、$B$和圆上角$A\hat{O}B$内部的点形成； 主拱门 $\overset{\frown}{AXB}$，在外面。除非另有说明，“arc $AB$”是最小的。
- 如果 $A$ 和 $B$ 是直径的两端，则每一半都是一个半圆。
Definição圆、扇形、线段和半圆
- 圆（或圆盘）是平面上距中心的距离小于或等于半径（圆周及其内部）的点的集合。
- 扇形 $AOB$ 由半径 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ 和角度 $A\hat{O}B$ 内部的圆点形成。
- 圆弧线段是圆与原点半平面在直线$AB$上的交线（最小的是不包含圆心的线段）。
- 半圆是圆与原点半平面在直径直线上的交点。