Euler's Eyes
2026-10-11
章节练习 9 — 多边形
练习和决议
确定（最好不使用公式）a 的内角和： a) 凸五边形； b) 凸六边形。
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a) $540^{\circ}$ · b) $720^{\circ}$ — 分别分解为 3 和 4 三角形。
确定情况下 $x$ 的值（在 和 中，$\overline{AB} \parallel \overline{ED}$）：
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a) $70^{\circ}$ · b) $110^{\circ}$ · c) $90^{\circ}$ · d) $120^{\circ}$ · e) $120^{\circ}$
在下面的情况下，确定$x$，已知段$\overline{AP}$、$\overline{BP}$、$\overline{CP}$和$\overline{DP}$在它们出现的图中是角平分线。
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a) $110^{\circ}$ · b) $52^{\circ}30^{\prime}$ · c) $50^{\circ}$ · d) $60^{\circ}$
根据$\hat{A}$和$\hat{C}$作为$\overline{AP}$和$\overline{CP}$角平分线，确定$x$。在a)中，$\overline{AB} \parallel \overline{PC}$和$\overline{AP} \parallel \overline{BC}$；在b)中，$\overline{AB} \parallel \overline{PC}$。
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a) $100^{\circ}$ · b) $150^{\circ}$
确定一的内角和外角：a)等边三角形； b) 正方形； c) 正五边形； d) 正六边形。
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a) $60^{\circ}$ e $120^{\circ}$ · b) $90^{\circ}$ e $90^{\circ}$ · c) $108^{\circ}$ e $72^{\circ}$ · d) $120^{\circ}$ e $60^{\circ}$
如果三角形$ABP$是等边且$ABCDE$是正五边形，则在以下情况下确定$x$：
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a) $66^{\circ}$ · b) $12^{\circ}$
确定以下情况下$x$和$y$的值：a）正五边形和正方形； b) 正六边形和正六边形。
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a) $x = 54^{\circ}$ e $y = 63^{\circ}$ · b) $x = 30^{\circ}$ e $y = 45^{\circ}$
计算九边形的内角和。
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$1\,260^{\circ}$
计算十边形的内角和。
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$1\,440^{\circ}$
计算二十边形的内角和。
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$3\,240^{\circ}$
内角之和为 $1\,800^{\circ}$ 的多边形是什么？
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十二边形
计算十边形中对角线的数量。
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35
计算二十边形的对角线数。
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170
找出对角线数是边数三倍的多边形。
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英尼冈
确定对角线数是边数四倍的多边形。
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十一角形
确定具有 9 条不同对角线的多边形。
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六边形
确定五边形的最大角，其内角的比率为 $3 : 3 : 3 : 4 : 5$。
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$150^{\circ}$
正多边形从其一个顶点开始的对角线数量与六边形的对角线数量一样多。找到：a）多边形； b) 对角线总数； c) 内角之和； d) 外角之和； e) 每个内角和每个外角的测量。
看书上的解决办法
- 六边形有 $d = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$ 对角线。
- 从每个顶点 $n - 3$ 对角线出发：$n - 3 = 9 \Rightarrow n = 12$。
a) 十二边形； b）$d = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54$； c) $S_i = 10 \cdot 180^{\circ} = 1\,800^{\circ}$； d）$S_e = 360^{\circ}$； e) $a_e = \dfrac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$ 和 $a_i = 150^{\circ}$。
从边长为 20 的凸多边形的顶点开始，我们可以绘制多少条对角线？
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17
确定凸多边形的边数，已知对角线偏离其顶点之一 25。
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28
确定内角和等于对角线数乘以$180^{\circ}$的凸多边形。
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四边形
正多边形的内角和外角的大小可以相等吗？什么情况下会出现这种情况？
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是的，在正方形中（$90^{\circ}$ 和 $90^{\circ}$）。
求外角为$24^{\circ}$的正凸多边形的对角线条数。
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90
正多边形的内角与外角之比为9。确定多边形的边数。
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20
正多边形的内角是1,5乘以它的外角。确定多边形的边数。
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5
正多边形的外角等于其内角的两倍。确定该多边形中的对角线数量。
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零（这是 等边三角形: $a_e = 120^{\circ} = 2 \cdot 60^{\circ}$）。
正多边形的内角和外角之和为$1\,800^{\circ}$。确定多边形中对角线的数量。
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35
确定内角是外角五倍的正凸多边形的边数。
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12
确定正多边形 $ABCDE\ldots$ 的边数，已知角 $\hat{A}$ 和 $\hat{C}$ 的 角平分线 $\overline{AP}$ 和 $\overline{CP}$ 形成的角等于其内角的 $\dfrac{2}{9}$。
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20
确定正多边形 $ABCD\ldots$ 与 20 边的延伸线 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 所形成的角度。
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$36^{\circ}$ 或 $144^{\circ}$
正多边形的两个连续边的垂直平分线形成的角度为$24^{\circ}$。确定该多边形中的对角线数量。
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90
通过将多边形的边数增加 3，其对角线数会增加 21。确定该多边形中的对角线数量。
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14
在下图中，确定角度 $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} + \hat{e} + \hat{f}$ 的测量总和。
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$300^{\circ}$
给定两个分别具有 $n$ 和 $n + 6$ 边的多边形，计算 $n$，知道其中一个多边形比另一个多边形具有 39 条对角线。
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$n = 5$
三个凸多边形分别具有 $n$、$n + 1$ 和 $n + 2$ 边。由于$2\,700^{\circ}$是三个多边形的所有内角之和，因此确定$n$的值。
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$n = 6$
表示三个多边形的边数的数字是$n - 3$、$n$和$n + 3$。确定每个多边形的对角线数量，已知其所有内角之和为 $3\,240^{\circ}$。
看书上的解决办法
多边形具有 5、8 和 11 边，因此具有 $d_1 = 5$、$d_2 = 20$ 和 $d_3 = 44$ 对角线。
三个多边形的边数用连续整数表示。已知三个多边形的对角线总数等于28，确定对角线数最多的多边形。
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七边形
两个凸多边形的边数由数字$n$和$n + 4$表示。已知其中一个多边形比另一个多边形具有 34 条对角线，确定 $n$ 的值。
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$n = 8$
凸多边形的边数比另一个凸多边形多 5 条。已知对角线总数为68，确定每个多边形的对角线数。
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14 e 54
给定两个正多边形，分别具有 $n + 1$ 边和 $n$ 边，确定第一个多边形的内角超出第二个多边形的内角 $5^{\circ}$，从而确定 $n$。
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$n = 8$
正多边形具有不通过其中心的 30 条对角线。每个内角的长度是多少？
看书上的解决办法
如果 $n$ 是偶数，则正多边形只有通过中心的对角线，然后 $\dfrac{n}{2}$ 是它们的对角线。
- $n$ 奇数： $d = 30 \Rightarrow n^2 - 3n - 60 = 0$，无自然根。这不起作用。
- $n$ 参数： $d = \dfrac{n}{2} + 30 \Rightarrow \dfrac{n(n-3)}{2} = \dfrac{n}{2} + 30 \Rightarrow n^2 - 4n - 60 = 0 \Rightarrow n = 10$。
它是正十边形：$a_e = 36^{\circ}$ 和 $a_i = 144^{\circ}$。
有 6 条对角线穿过其中心的正多边形是什么？
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十二边形
正多边形有 170 条对角线。有多少人经过中心？
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10
正多边形的内角测量为 $140^{\circ}$。有多少条对角线穿过中心？
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无（它是九边形，边数为奇数）。