多边形有多少条对角线？你的角度加起来是多少？答案来自一个简单的想法：将多边形分成三角形。

谁发现的

多边形的内角和是欧几里德的几何原本的命题I.32的扩展，该命题涉及三角形。 Proclus（公元 5 世纪）记录了凸多边形的两个结果：具有 $n$ 条边的多边形的内角总和等于 $2n - 4$ 个直角，而外角总和始终等于四个直角。在 1619 中，Johannes Kepler 使用这些总和来计算出哪些正多边形可以平铺平面。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域
约翰内斯·开普勒。
约翰内斯·开普勒。奥古斯特·科勒 [1] · 维基共享资源 · 公共领域

故事

证明根据顶点或内点将多边形划分为三角形 - 与本主题中的方法相同。对角线计数 $\tfrac{n(n-3)}{2}$ 是一个组合问题：每个顶点都连接到除自身及其两个邻居之外的所有其他顶点。

多边形分成三角形：分解图形可以让您进行角度关系。
多边形分成三角形：分解图形可以让您进行角度关系。来自博客的原始教学插图。

在Harmonices Mundi (1619)中，开普勒表明，在正多边形中，只有三角形、正方形和六边形覆盖了没有孔的平面：其内角(60°， 90° 和 120°) 是唯一能精确整除 360° 的值。

在日常生活中

  • **地板和瓷砖。**具有单一类型正多边形的瓷砖只有在三角形、正方形或六边形时才有用——这是角度和的直接结果。
  • 绕着一个方块行走。 绕着一个多边形正方形走一圈并返回起点的人总共转动了 360°：它是外角之和。
  • **机器人和乌龟。**在 Logo 和 Scratch 等适合儿童的编程语言中，绘制边长为 $n$ 的正多边形需要在每个角处旋转 $360°/n$。
  • 握手。 在 $n$ 个人的群体中，握手的次数是具有 $n$ 个顶点的多边形的边数加上对角线的数量。

来源： 元素，命题 I.32 · Proclus (MacTutor) · 开普勒 (MacTutor)。

理论与结构

Teorema对角线数量

对角线是末端为不连续顶点的线段。 $n$ 边多边形 ($n \geq 3$) 的对角线数量为

$$d = \frac{n(n-3)}{2}.$$

推论。 对角线从每个顶点 $n - 3$ 出发（它们既不会到达自身，也不会到达两个邻居）。对于 $n$ 顶点，我们计算了 $n(n-3)$ — 但每条对角线都计算了两次，每一端各一次。标志 $d = \dfrac{n(n-3)}{2}$。

Teorema内角之和

边长为 $n$ 的凸多边形的内角和为

$$S_i = (n - 2) \cdot 180^{\circ}.$$

**推论。**从一个顶点开始的$n - 3$条对角线将多边形划分为$n - 2$个三角形，多边形的内角和就是这些三角形的内角之和。

更改边数并拖动顶点。从 $A_1$ 开始的黄金对角线对多边形进行三角剖分。

Teorema外角之和

凸多边形的外角是内角的邻余角。凸多边形的外角和为

$$S_e = 360^{\circ}.$$

**推论。**在每个顶点，$e_k + i_k = 180^{\circ}$。添加 $n$ 等式：$S_e + S_i = n \cdot 180^{\circ}$。作为 $S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}$，出现 $S_e = 360^{\circ}$。

拖动顶点（多边形保持凸面）。该按钮将外角连接在同一点：它们始终闭合一个环。

Propriedade正多边形的角

在正多边形中，内角全等，外角全等：

$$a_e = \frac{360^{\circ}}{n}, \qquad a_i = \frac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}, \qquad a_i + a_e = 180^{\circ}.$$

实际上，先计算$a_e$，然后补充$a_i$是比较容易的。

更改边数：外角（红色）减小，内角（金色）接近 180°。