Euler's Eyes
2026-10-11
直角、锐角和钝角 — 测量
为什么完整的转弯具有 360 度，而不是 100？答案在于美索不达米亚天文学。
谁发现的
名称直角、锐角和钝角来自欧几里得，他在几何原本中定义了它们（定义I.10到I.12）：直角是与其补邻角相等的角；锐的，比直的小；钝的，最大的。 度 的测量有另一个起源，即巴比伦天文学，如下面好奇的“为什么是 360 度？”中所述。 分钟和秒这两个词来自Claudius Ptolemy（公元2世纪）的拉丁语翻译。
故事
欧几里得从未以度为单位测量角度。对他来说，直角是自然单位：一个角“等于两个直角”或“小于一个直角”，他的第四条公设指出所有直角都相等。数值测量来自天文学家，他们需要定位天空中的恒星和行星。
节点 天文学大成，托勒密将每个度数细分为以 60 为基数的分数。在拉丁语翻译中，它们变成了 主要细节部分 和 次要微小零件 —“第一小部分”和“第二小部分”—，分钟和秒的来源。
在法国大革命中，人们尝试将直角与米一起分成 100 部分，即 grad。该单位在科学计算器的“GRAD”模式下仍然存在，但学位已经过期。
在日常生活中
- **瓦工的正方形。**确保墙壁和地板以直角相交。
- 地理坐标。 纬度和经度是以度、分和秒为单位测量的角度。
- 演习。“To Give 180”是颠倒意思；滑板上的“360”就是一个完整的转弯。
- 指南针。 飞机或轮船的航向以从北开始的度数给出：90° 为东，180° 为南。
来源： 元素，假设 4 · 托勒密 (MacTutor) · 元素，定义 I.10。
理论与结构
Definição相邻补充；直、锐角和钝角
给定角度$A\hat{O}B$，与$\overrightarrow{OA}$相对的射线$\overrightarrow{OC}$和射线$\overrightarrow{OB}$确定角度$B\hat{O}C$，称为$A\hat{O}B$的相邻补角（或相邻补角）。
- 直角是与其相邻补角全等的任何角。
- 锐角是小于直角的角。
- 钝角是大于直角的角。
返回量角器图形并使用“补充相邻”按钮：当 $A\hat{O}B$ 和 $B\hat{O}C$ 相等时，各自测量 $90^{\circ}$ — 这是直角。
Definição角度（振幅）的测量
由 $m(A\hat{O}B)$ 表示的角度 $A\hat{O}B$ 的度量是一个正实数，使得：
- 全等角的尺寸相等，反之亦然；
- 如果一个角度大于另一个角度，则其尺寸更大；
- 测量值的总和对应于角度总和：$\widehat{rt} = \widehat{ab} + \widehat{cd} \Rightarrow m(\widehat{rt}) = m(\widehat{ab}) + m(\widehat{cd})$。
角度的测量也称为振幅。
单位：度、分、秒和等级
| 单元 | 定义 | 关系 |
|---|---|---|
| 度 ($1^{\circ}$) | 直角秒的约数 90 | 直角 $= 90^{\circ}$ |
| 分钟 ($1^{\prime}$) | 二阶约数 60 | $1^{\circ} = 60^{\prime}$ |
| 第二个 ($1^{\prime\prime}$) | 分钟秒的约数 60 | $1^{\prime} = 60^{\prime\prime}$ |
| 度 ($1\,\text{gr}$) | 直角秒的约数 100 | 直角 $= 100\,\text{gr}$ |
锐角的测量值小于 $90^{\circ}$；钝角，大于 $90^{\circ}$。角度的测量$\alpha$满足$0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$。在格拉多中，摄氏度（$0{,}01\,\text{gr}$，“格拉多分钟”）和十毫升（$0{,}0001\,\text{gr}$，“格拉多秒”）脱颖而出。
Definição补充与补充
- 如果两个角度的测量总和为 $90^{\circ}$，则它们互补。一个是另一个的补码：$x$ 的补码是$90^{\circ} - x$。
- 如果两个角度的测量总和为 $180^{\circ}$，则它们是补充。一个是另一个的补充：$x$ 的补充是$180^{\circ} - x$。
扩展这个概念，我们有空角（重合边，$0^{\circ}$）和浅角（相对边，$180^{\circ}$）。和他们一起，$0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$。
Teorema与顶点相对的角
如果两个角是顶点相反的，那么它们是全等的。
演示
- 假设： $A\hat{O}B$ 和 $C\hat{O}D$ 是 o.p.v. 论文： $A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$。
- 令 $x$ 为 $A\hat{O}B$ 的度量，$y$ 为 $C\hat{O}D$ 的度量，$z$ 为 $B\hat{O}C$ 的度量。
- $A\hat{O}B$和$B\hat{O}C$相邻并且它们的非公共边相对：$x + z = 180^{\circ}$。
- 同样，$C\hat{O}D$和$B\hat{O}C$：$y + z = 180^{\circ}$。
- 然后是$x + z = y + z$，即$x = y$和$A\hat{O}B \equiv C\hat{O}D$。