Complemento

Exercícios do capítulo 3 — Ângulos

Exercícios e resoluções A calculadora abaixo faz, passo a passo, as contas com graus, minutos e segundos dos exercícios 29 a 33. Tente resolver primeiro e use-a para conferir. Digite os ângulos e escolha a operação. Ela mostra cada passo: 60″ viram 1′ e 60′ viram 1°. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 29 Simplifique as seguintes medidas: a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$

October 11, 2026 Iniciar leitura

Ângulo reto, agudo e obtuso — medida

Por que uma volta completa tem 360 graus, e não 100? A resposta está na astronomia da Mesopotâmia. Quem descobriu Os nomes reto, agudo e obtuso vêm de Euclides, que os define nos Elementos (definições I.10 a I.12): reto é o ângulo igual ao seu adjacente suplementar; agudo, o menor que o reto; obtuso, o maior. A medida em graus tem outra origem, a astronomia babilônica, como conta a curiosidade “Por que 360 graus?”, mais abaixo. Já as palavras minuto e segundo vêm das traduções latinas de Cláudio Ptolomeu (século II d.C.).

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Congruência e comparação

Copiar um ângulo e dividi-lo ao meio são construções clássicas. Dividi-lo em três partes iguais, porém, desafiou matemáticos por mais de dois mil anos. Quem descobriu As duas construções estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.9 divide um ângulo ao meio (a bissetriz) e a I.23 copia um ângulo dado sobre outra reta. Já a trissecção do ângulo com régua e compasso — dividir qualquer ângulo em três partes iguais — foi provada impossível em 1837 pelo francês Pierre Wantzel, então com pouco mais de 20 anos.

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Ângulo: definições

Duas semirretas com a mesma origem formam um ângulo. E o primeiro teorema sobre ângulos tem até um descobridor com nome. Quem descobriu Segundo Proclo (século V d.C.), que citava a História da Geometria de Eudemo de Rodes, foi Tales de Mileto (c. 624–546 a.C.) quem primeiro percebeu que ângulos opostos pelo vértice são iguais; Euclides só depois o demonstrou “cientificamente”, na proposição I.15. A definição de ângulo como “inclinação de duas linhas” está nos Elementos de Euclides (definição I.8).

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Introdução: convexidade e semiplanos

Uma reta divide o plano em dois lados. Uma figura é convexa quando não tem “reentrâncias”. As duas ideias andam juntas. Quem descobriu O primeiro a definir com cuidado uma figura convexa foi Arquimedes de Siracusa (c. 287–212 a.C.), na obra Sobre a esfera e o cilindro, onde usa curvas “côncavas para o mesmo lado” para comparar perímetros. A separação do plano por uma reta foi formalizada por Moritz Pasch em 1882: seu axioma diz que uma reta que entra num triângulo por um lado precisa sair por outro. No fim do século XIX, Hermann Minkowski fez da convexidade uma área própria da matemática.

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