复制一个角度并将其分成两半是经典的结构。然而，两千多年来，将其分成三等份一直是数学家面临的挑战。

谁发现的

这两个结构位于欧几里德（c. 300 BC）的几何原本中：命题I.9将一个角度分成两半（a 角平分线），并且I.23 将给定角度复制到另一条直线上。用尺子和圆规将角度三等分（将任何角度分成三等分）在1837被法国人Pierre Wantzel证明是不可能的，当时他才刚过20岁。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

三等分是三个古典希腊问题之一，另外两个是立方加倍和圆的平方。希腊人能够使用特殊的曲线或带有标记的尺子来解决这个问题——阿基米德给出了这样的解决方案——但绝不仅仅使用没有标记的尺子和指南针。

阿基米德，后来的艺术表现。
阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域
角平分线 将开口分成两个相等的角度：相等的长度有助于建立比较。
角平分线 将开口分成两个相等的角度：相等的长度有助于建立比较。来自博客的原始教学插图。

Wantzel 将问题转化为代数：使用尺子和圆规的每个构造都相当于求解 2 度方程，而三等分 60° 的角度需要一个无法约简到它们的 3 度方程。业余爱好者寄给杂志的“三分”至今仍然出现；他们都有一些错误。

在日常生活中

  • **木匠的suta。**它是一个“角度复制器”：它复制屋顶或楼梯的坡度以供切割——实践中的I.23命题。
  • 斜接。 要闭合装饰线条和踢脚板上的 90° 角，每块都在 45° 处切割：在 角平分线 处从直角切割。
  • 折叠。 无需任何工具，将纸张的一侧折叠到另一侧标记 角平分线 上。
  • **台球。**球离开球台的角度与到达时的角度相同。

来源： 元素，命题 I.9 · 元素，命题 I.23 · Wantzel (MacTutor)。

理论与结构

Postulado角度全等

角度的同余（符号$\equiv$）是一个原始概念，满足：

  1. 反射： $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$。
  2. **对称：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$，则 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$。
  3. **传递：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ 和 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$，则 $\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$。
  4. **角度传递：**给定平面的角度 $A\hat{O}B$ 和射线 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$，在该平面中，直线 $O^{\prime}A^{\prime}$ 确定的每个半平面中都存在一条射线 $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$，它与 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ 形成与 $A\hat{O}B$ 一致的角度 $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$。

**比较。**给定$\widehat{ab}$和$\widehat{cd}$，我们将$\widehat{cd}$传输到包含$b$的$a$线上的原点半平面，得到$\widehat{ad^{\prime}} \equiv \widehat{cd}$。如果$d^{\prime}$是$\widehat{ab}$的内部，我们说$\widehat{ab} > \widehat{cd}$；如果$d^{\prime}$与$b$一致，则$\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$；如果 $d^{\prime}$ 位于 $\widehat{ab}$、$\widehat{ab} < \widehat{cd}$ 的外部。

添加角度和 角平分线

Definição角度总和

如果射线 $\overrightarrow{Ob}$ 在角度 $a\hat{O}c$ 的内部，则 $a\hat{O}c$ 是角度 $a\hat{O}b$ 和 $b\hat{O}c$ 的总和：

$$a\hat{O}c = a\hat{O}b + b\hat{O}c.$$

一般来说，给定$\widehat{ab}$和$\widehat{cd}$，如果存在$\widehat{rs} \equiv \widehat{ab}$和$\widehat{st} \equiv \widehat{cd}$，并且$s$位于$\widehat{rt}$内部，我们说$\widehat{rt} = \widehat{ab} + \widehat{cd}$。与$\widehat{ab}$全等的$n$个角度之和，如果存在，则为$\widehat{ab}$第二个$n$的倍数； $\widehat{ab}$ 是它的约数。

Definição角平分线

当且仅当 $a\hat{O}c \equiv c\hat{O}b$ 时，角度 $a\hat{O}b$ 内部的射线 $\overrightarrow{Oc}$ 是该角度的 角平分线。 角平分线 从顶点开始并将角度分为两个全等的角度。

拖动 $b$（金色）以查看总和 $a\hat{O}c = a\hat{O}b + b\hat{O}c$。当两部分相等时，$\overrightarrow{Ob}$ 为角平分线。同时拖动 $c$。

Teorema角平分线 的唯一性

角度只有一个 角平分线。

示范（荒谬）

  1. 假设 $\overrightarrow{Ox}$ 和 $\overrightarrow{Oy}$ 不同，是 $a\hat{O}b$ 的 角平分线：$a\hat{O}x \equiv x\hat{O}b$ (1) 和 $a\hat{O}y \equiv y\hat{O}b$ (2)。
  2. 案例 1： $\overrightarrow{Ox}$ 位于 $a\hat{O}y$ 内部。然后$a\hat{O}y > a\hat{O}x$；并且由于 $\overrightarrow{Oy}$ 是 $x\hat{O}b$、$x\hat{O}b > y\hat{O}b$ 的内部。徽标 $a\hat{O}y > a\hat{O}x \equiv x\hat{O}b > y\hat{O}b$ — (2) 的胡言乱语。
  3. 案例 2： $\overrightarrow{Oy}$ 位于 $a\hat{O}x$ 内部。同样，$a\hat{O}x > a\hat{O}y \equiv y\hat{O}b > x\hat{O}b$ — (1) 胡言乱语。
  4. 因此 角平分线 是唯一的。它的存在将在6章节中通过使用尺子和圆规进行构造来证明。