Euler's Eyes
2026-10-11
简介：凸面和半平面
一条直线将平面分为两侧。当图形没有“凹痕”时，它就是凸图形。这两个想法是相辅相成的。
谁发现的
第一个仔细定义凸图形的是 锡拉丘兹的阿基米德 （约公元前287年至212年），在作品中 关于球体和圆柱体，它使用“凹向同侧”曲线来比较周长。平面与直线的分离形式化为 莫里茨·帕什 1882 年：他的公理说，从一侧进入三角形的直线必须从另一侧退出。 19世纪末， 赫尔曼·闵可夫斯基 使凸性成为自己的数学领域。
故事
阿基米德需要凸性来解决一个具体问题：证明内接于圆的多边形的周长小于其自身的周长，而外接多边形的周长则大于其自身的周长。这样他就将 π 的值包围在 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。
帕什公理解决了另一个问题：欧几里得从未证明直线将平面分成两侧。他只是简单地画、看。从帕什开始，“在直线的同一侧”开始有一个精确的定义——半平面——它将用来定义角的内部。
在日常生活中
- 镜片。 凸镜片，例如放大镜和远视眼镜中的镜片，可以集中光线；凹面的则传播它。
- **指甲上有松紧带。**围绕几个指甲的松紧带形成包含它们的最小凸形图形 - 计算机图形学中使用的“凸包”。
- **街道的两侧。**街道将社区分为两个半平面：一侧为偶数，另一侧为奇数。
- **电子游戏。**使用凸形状检测碰撞要快得多，这就是为什么角色被看不见的凸“盒子”包围。
来源： 阿基米德 (MacTutor) · Pasch (MacTutor) · Minkowski (MacTutor)。
理论与结构
观看有关凸区域和半平面的视频课程，然后遵循理论。
Definição凸区
当且仅当 $\Sigma$ 的任意两个不同点 $A$ 和 $B$ 是 $\Sigma$ 中包含的线段 $\overline{AB}$ 的端点，或者 $\Sigma$ 是酉的，或者 $\Sigma$ 为空时，一组点 $\Sigma$ 是凸（或者是凸区域）。
非凸区域是凹区域。
例如，直线、平面和线段都是凸的：在所有这些中，连接任意两点的线段都在集合内。形状像“L”、星星或残月的区域是凹的：其中有两个点的部分超出了该区域。
Postulado平面上点分离的假设
平面 $\alpha$ 的直线 $r$ 将该平面分为两组点 $\alpha^{\prime}$ 和 $\alpha^{\prime\prime}$，使得：
- $\alpha^{\prime} \cap \alpha^{\prime\prime} = \varnothing$，并且两个集合都不包含来自 $r$ 的点；
- $\alpha^{\prime}$和$\alpha^{\prime\prime}$是凸的；
- 如果 $A \in \alpha^{\prime}$ 和 $B \in \alpha^{\prime\prime}$，则线段 $\overline{AB}$ 与直线 $r$ 相交。
Definição半平面
每个集合 $\alpha^{\prime}$ 和 $\alpha^{\prime\prime}$ 都是一个开半平面。集合 $r \cup \alpha^{\prime}$ 和 $r \cup \alpha^{\prime\prime}$ 是半平面。线$r$是它们各自的原点，而$\alpha^{\prime}$和$\alpha^{\prime\prime}$是相对的半平面。