Ponto Médio

Exercícios do capítulo 2 — Segmento de reta

Exercícios e resoluções 6 Se o segmento $\overline{AB}$ mede 17 cm, determine o valor de $x$ nos casos: Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver resoluçãoa) $x + 7 = 17 \Rightarrow x = 10$. b) $PA = PB + BA$: $21 = x + 17 \Rightarrow x = 4$. c) $(x + 3) + x = 17 \Rightarrow x = 7$. d) $AP = AB + BP$: $2x = 17 + (x - 3) \Rightarrow x = 14$. Ver respostaa) $x = 10$ cm · b) $x = 4$ cm · c) $x = 7$ cm · d) $x = 14$ cm

October 11, 2026 Iniciar leitura

Segmentos e retas no dia a dia

Antes de serem objetos de teoremas, retas e segmentos foram ferramentas de trabalho: cordas esticadas, réguas e linhas de prumo. Quem descobriu Ninguém em particular: as primeiras retas foram traçadas por agricultores, construtores e agrimensores de civilizações como Egito e Mesopotâmia. Os textos gregos chamavam de harpedonaptai, “esticadores de corda”, os especialistas egípcios em medir terrenos; o termo aparece num fragmento atribuído a Demócrito (século V a.C.). Em Roma, os agrimensores usavam a groma, uma cruz com fios de prumo, para traçar estradas e lotes retos.

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Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os une — o caminho mais curto entre eles. Quem descobriu A ideia é intuitiva e antiga; o que tem autor é o seu uso e a sua generalização. Por volta de 240 a.C., Eratóstenes de Cirene calculou a distância ao redor da Terra comparando sombras em Siena e Alexandria. Em 1906, o francês Maurice Fréchet percebeu que bastavam três propriedades — distância nunca negativa, simétrica e obedecendo à desigualdade triangular — para falar de “distância” entre quaisquer objetos. Em 1914, Felix Hausdorff chamou essa estrutura de espaço métrico.

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Medida de um segmento

Medir um segmento é perguntar quantas vezes uma unidade cabe nele. A pergunta é simples; a resposta levou séculos para ficar completa. Quem descobriu Medir comprimentos é anterior à escrita, mas quem resolveu o problema teórico foi Eudoxo de Cnido (c. 408–355 a.C.). Os pitagóricos tinham descoberto que a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis: não existe unidade, por menor que seja, que caiba um número inteiro de vezes nos dois. Eudoxo criou uma teoria de proporções que funciona mesmo nesse caso, registrada no livro V dos Elementos.

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Ponto médio

Achar o meio exato de um segmento é uma das construções mais antigas e mais usadas da geometria. Quem descobriu A construção mais antiga que conhecemos está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), na proposição I.10: “cortar ao meio uma reta finita dada”. Euclides levanta um triângulo equilátero sobre o segmento, divide o ângulo do topo ao meio e prova, por triângulos congruentes, que a divisão cai exatamente no meio. Muito depois, o dinamarquês Georg Mohr (1672) e o italiano Lorenzo Mascheroni (1797) mostraram que dá para achar o ponto médio só com compasso, sem régua.

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Congruência de segmentos

Dois segmentos são congruentes quando um pode ser “colocado” sobre o outro. É a forma geométrica de dizer que têm o mesmo tamanho — sem precisar de régua graduada. Quem descobriu Euclides tratou o tema logo no início dos Elementos (c. 300 a.C.). Sua noção comum 4 diz que “coisas que coincidem umas com as outras são iguais”, e as proposições I.2 e I.3 mostram como transportar um segmento e como cortar, de um segmento maior, um pedaço igual a um menor. O mais curioso é a ferramenta: Euclides só admite um compasso que “fecha” quando sai do papel e, mesmo assim, prova que é possível copiar distâncias.

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Posições de dois segmentos

Segmentos consecutivos, colineares, adjacentes: nomes que descrevem como dois pedaços de reta se encaixam. Quem descobriu Essa classificação não tem um autor: é uma organização didática moderna. A prática de juntar segmentos, porém, é antiquíssima. Os agrimensores egípcios, que o historiador grego Heródoto (século V a.C.) relacionou à origem da geometria, remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo emendando medidas feitas com cordas. Séculos depois, Heron de Alexandria (século I d.C.) descreveu em sua Dioptra como medir terrenos por trechos alinhados.

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Segmento e semirreta

Uma reta não tem começo nem fim. Na prática, quase sempre trabalhamos com pedaços dela: segmentos e semirretas. Quem descobriu Os gregos pensavam primeiro no pedaço. Nos Elementos (c. 300 a.C.), Euclides fala de “linhas retas finitas” — os nossos segmentos — e seu segundo postulado permite prolongar uma reta finita continuamente. Ou seja, para ele a reta ilimitada era algo que se obtinha estendendo um segmento quanto fosse preciso. Os nomes “segmento” e “semirreta”, com as definições usadas na escola, são do vocabulário moderno, fixado pelos livros de geometria dos séculos XIX e XX.

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A noção "estar entre"

“B está entre A e C.” Euclides usou essa ideia em quase toda demonstração — sem nunca explicá-la. Quem descobriu O primeiro a transformar “estar entre” em axiomas foi o alemão Moritz Pasch (1843–1930), professor em Giessen, no livro Lições de Geometria Moderna, de 1882. Antes dele, Carl Friedrich Gauss já havia observado, numa carta de 1832, que palavras como “entre” precisariam ser esclarecidas numa exposição completa da geometria. David Hilbert incorporou as ideias de Pasch em 1899, nos chamados axiomas de ordem.

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