两点之间的距离是连接它们的线段的长度——它们之间的最短路径。

谁发现的

这个想法很直观，也很古老。有作者的是它的用途和概括。公元前 240 左右，昔兰尼的埃拉托色尼通过比较锡耶纳和亚历山大的阴影计算出了绕地球的距离。在 1906 中，法国人 Maurice Fréchet 意识到三个属性就足以谈论任何物体之间的“距离”：距离绝不为负、对称且服从三角不等式。在1914中，Felix Hausdorff将这种结构称为度量空间。

昔兰尼的埃拉托色尼，后来的艺术表现。
昔兰尼的埃拉托色尼，后来的艺术表现。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域
莫里斯·弗雷谢特.
莫里斯·弗雷谢特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域
菲利克斯·豪斯多夫。
菲利克斯·豪斯多夫。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

亚历山大图书馆馆长埃拉托色尼知道，在锡耶纳，在一年中最长的白天，正午的阳光照亮了井底。同一天，在亚历山大，一根杆子投下的阴影相当于完整转弯的1/50。由于城市之间的距离约为 5 000 个体育场，地球周长约为 250 000 个体育场 — 这一值接近实际值，具体取决于所采用体育场的大小。

弗雷谢的概括表明，距离几何在平面之外仍然有效。今天，我们使用相同的三个规则来测量单词、图像甚至 DNA 序列之间的“距离”。

在日常生活中

  • **地图上的“直线”。**应用程序显示直线距离以及沿路径的距离；第一个总是小于或等于。
  • **正在运行的应用程序。**手表每秒都会添加记录的 GPS 点之间的距离。
  • **出租车距离。**在一个有方形街区的城市中，真实路线包括水平和垂直部分——另一个遵守弗雷谢规则的“距离”。
  • 拼写检查器。 建议与您键入的单词“距离”最短（更改的字母较少）的单词。

来源： Eratosthenes (MacTutor) · Fréchet (MacTutor) · Hausdorff (MacTutor)。

理论与结构

Definição距离

给定两个不同的点 $A$ 和 $B$：

  • 它们之间的几何距离（由$d_{A,B}$表示）是线段$\overline{AB}$或与其一致的任何线段；
  • 它们之间的公制距离是线段 $\overline{AB}$ 的测量值（长度）。

如果$A$和$B$重合，则几何距离为零，公制距离也为零。