找到线段的确切中间位置是几何学中最古老和最常用的构造之一。

谁发现的

我们所知道的最古老的构造是欧几里德（c. 300 BC）的几何原本，在命题I.10中：“将给定的有限直线切成两半”。欧几里得在线段上举起一个等边三角形，将顶角分成两半，并通过全等三角形证明，该划分正好落在中间。很久以后，丹麦人 Georg Mohr (1672) 和意大利人 Lorenzo Mascheroni (1797) 表明，只需使用指南针即可找到中点，无需尺子。

欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域
洛伦佐·马斯切罗尼。
洛伦佐·马斯切罗尼。Francesco Saverio Redenti · 维基共享资源 · CC0

故事

对于欧几里得来说，找到中点并不是测量并除以二：它是构造一个点并证明它将线段分成相等的部分。该证明使用了之前的结果 - 等边三角形 (I.1)、角平分线 (I.9) 和 LAL 同余情况 (I.4) - 这是 几何原本 链命题的一个很好的例子。

将线段分成两半：三角形和等式证明中点的位置合理。
将线段分成两半：三角形和等式证明中点的位置合理。来自博客的原始教学插图。

马斯切罗尼的书， 指南针几何，献给热爱几何的拿破仑·波拿巴；仅用指南针将圆分成四个相等的弧的挑战被称为“拿破仑问题”。

在日常生活中

  • **挂一幅画。**钉子位于墙壁或其下方家具宽度的中点。
  • 对折。 折叠床单、餐巾或毛巾即可找到中点，无需任何测量。
  • 在路中间相遇。 两个人离开不同的城市，想要走同样的距离，寻找路的中间点。
  • **跷跷板。**支撑位于板的中间，因此在没有任何人在上面的情况下保持平衡。

来源： 元素，命题 I.10 · Mascheroni (MacTutor) · Mohr (MacTutor)。

理论与结构

Definição中点

当且仅当 $M$ 位于 $A$ 和 $B$ 和 $\overline{AM} \equiv \overline{MB}$ 之间时，点 $M$ 是线段 $\overline{AB}$ 的中点。

$M$是$\overline{AB}$：$M \in \overline{AB}$和$\overline{MA} \equiv \overline{MB}$的中点。

Teorema中点的唯一性

线段有一个中点。

示范（荒谬）

  1. 假设 $X$ 和 $Y$ 不同，都是 $\overline{AB}$ 的中点。然后是$AX = XB$（1）和$AY = YB$（2）。
  2. 情况 1： $X$ 位于 $A$ 和 $Y$ 之间。然后是$AY > AX$，并且由于$Y$在$X$和$B$之间，因此是$XB > YB$。添加：$AY > AX = XB > YB$，即$AY > YB$——与(2)矛盾。
  3. 情况 2： $Y$ 位于 $A$ 和 $X$ 之间。同样，$AX > AY = YB > XB$，即 $AX > XB$ — 与 (1) 矛盾。
  4. 这两种情况都会导致荒谬。因此，$\overline{AB}$ 的中点是单个。

中点的存在将在稍后通过构造垂直平分线（第6章）来证明。