“B 位于 A 和 C 之间。”欧几里得几乎在每次演示中都使用了这个想法，但从未对其进行解释。

谁发现的

第一个将“存在于”转变为公理的是德国吉森教授Moritz Pasch (1843–1930)，他在1882所著的Lições de Geometria Moderna一书中提出了这一点。在他之前，卡尔·弗里德里希·高斯已经在 1832 的一封信中观察到，在完整的几何阐述中需要澄清像“之间”这样的词。 David Hilbert 将 Pasch 的思想纳入了 1899，即所谓的秩序公理。

莫里茨·帕什.
莫里茨·帕什.古斯塔夫·巴托芬 · 维基共享资源 · 公共领域
卡尔·弗里德里希·高斯。
卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域
大卫·希尔伯特.
大卫·希尔伯特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域

故事

两千多年来没有人错过这个定义，因为绘图解决了它：只要看图就知道哪一点在中间。当你想要一个不依赖于数字的证明时，就会出现问题。有一些著名的“证明”，例如每个三角形都是等腰三角形，这些证明似乎是正确的，但只是因为一个点画在另一个点的错误一侧而失败。顺序公理可以防止此类错误。

帕什认为，即使对于那些从未见过这个雕像的人来说，示威也应该仍然有效。这一要求改变了几何的书写方式，并为希尔伯特的工作铺平了道路。

在日常生活中

  • **队列。**知道您和收银员之间的人就知道还剩下多少人。
  • **地铁站。**在直达列车线路上，如果B站位于A和C之间，则从A到C的人必须经过B。
  • 高速公路的公里数。 公里 120 位于公里 100 和公里 150 之间；地标的顺序可以让您找到事故地点或出口。
  • **进度条。**视频的标记始终位于开始和结束之间，其位置指示还剩多少。

来源： Moritz Pasch (MacTutor) · Hilbert (MacTutor)。

理论与结构

Postulado假设概念介于

无论点 $A$、$B$ 和 $P$：

  1. 如果$P$在$A$和$B$之间，则$A$、$B$和$P$共线；
  2. 如果$P$在$A$和$B$之间，则$A$、$B$和$P$两两不同；
  3. 如果$P$在$A$和$B$之间，则$A$不在$P$和$B$之间，$B$也不在$A$和$P$之间；
  4. 如果 $A$ 与 $B$ 不同，则 $A$ 和 $B$ 之间存在一个点 $P$。

最后一个假设有一个奇怪的结果：在 $A$ 和 $P$ 之间有另一个点，在 $A$ 之间有另一个点，依此类推。在两个不同的点之间有无限个点。