没有标记的尺子和指南针：仅用这两种工具，希腊人就可以完全精确地绘制中点、垂直线和平行线。

谁发现的

经典结构位于欧几里得（公元前300）的几何原本中：垂直平分线和中点（命题I.10），角平分线 (I.9)、垂直一点（I.11 和 I.12）和平行一点（I.31）。只使用没有标记的尺子和圆规的规则来自欧几里得的前三个公设：通过两点画一条直线，延长它并以任意圆心和半径画一个圆。

故事

对于希腊人来说，建筑是以绘图形式进行的演示：每一步都需要通过已经证明的结果来证明其合理性。这就是为什么有刻度的尺子不值得——测量是近似，建造是保证。

两千多年来，三个著名的问题一直困扰着这些工具：将任何角度分成三等分，构造一个体积是另一个体积两倍的立方体，以及构造一个与圆面积相同的正方形。 19 世纪，Pierre Wantzel (1837) 和 Ferdinand von Lindemann (1882) 证明仅用尺子和指南针就可以实现这三个目标不可能。

在日常生活中

  • **木工和金属制品。**干点罗盘标记中心，将零件分成两半并绘制垂直线，而无需正方形。
  • 技术制图。 CAD 程序和 GeoGebra 的“垂直平分线”、“角平分线”和“垂直”工具重复了欧几里得的构造。
  • 园艺。 使用两根木桩和一根绳子，您可以标记圆形花坛或垂直于墙壁的线。

四种构造

在每个图中，拖动点并一次前进一步。用真正的尺子和圆规在纸上重复构建。

垂直平分线 和中点

Definição垂直平分线

线段 $\overline{AB}$ 的 垂直平分线 是通过其中点垂直于 $\overline{AB}$ 的线。 垂直平分线 上的每个点与 $A$ 和 $B$ 的距离相同。

垂直平分线的构造：点P和Q到A和B的距离相同。

为什么会起作用？ 圆弧具有相同的半径，因此 $PA = PB$ 和 $QA = QB$。距$A$和$B$等距离的点组成垂直平分线；由于其中有$P$和$Q$，所以直线$PQ$就是垂直平分线。

角平分线 角度

角平分线 的构造：三角形 OPR 和 OQR 全等（情况 LLL）。

为什么它有效？ $OP = OQ$（第一对弧）和 $PR = QR$（第二对弧）； $OR$ 侧是常见的。在 LLL 情况下，三角形 $OPR$ 和 $OQR$ 全等，并且 $O$ 中的角度相等。

垂直于线外一点

垂直于 P：点 P 和 E 到 C 和 D 的距离相同。

为什么有效？ $PC = PD$ 和 $EC = ED$：$P$ 和 $E$ 位于 $\overline{CD}$ 的 垂直平分线 上，垂直于线 $r$。

平行于一点

与P平行：CDEP的四条边相等，所以CDEP是菱形。

它为什么有效？ $CDEP$ 的四个边具有相同的尺寸：它是一个菱形，并且每个菱形都是一个平行四边形。因此$PE$平行于$CD$，即平行于直线$r$。

检查答案

45°: 构造垂线 (90°)，然后构造该直角的 角平分线。 60°: 将干燥尖端置于 A 处并打开 AB，画一条弧线；在 B 处用干端重复。交汇点 C 形成 等边三角形 ABC，其角度为 60° — 正是该命题的第一个命题 元素.

是真是假？

  1. AB 的 垂直平分线 上的每个点到 A 和 B 的距离相同。
  2. 使用尺子和圆规，您可以将任何角度分成三等份。
  3. 直角的角平分线形成两个45°角。
  4. 在希腊结构中，尺子可以有厘米标记。

来源： 元素，第一本书 (D. Joyce) · Wantzel (MacTutor) · Lindemann (MacTutor)。