将绳子缠绕在罐子上，然后将其拉伸至直径：它刚好适合三倍。这适用于任何罐头、轮子或硬币。这个“略多于三”是数字π。

谁发现的

大约 4 000 年前，巴比伦人和埃及人就已经知道圆的轮廓略大于三个直径；他们使用了 3、$3\tfrac{1}{8}$ 和 3,16 等值。第一个计算出 π 的确定性是锡拉丘兹的阿基米德（公元前 3 世纪）：他使用边长为 96 的多边形，证明了 π 位于 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。符号 π 由威尔士人 William Jones 在 1706 中使用，并由 Leonhard Euler 推广。

故事

阿基米德用两个多边形（一内一外）包围圆，并将边数增加四倍：6、12、24、48和96。多边形的周长从下方和上方接近轮廓。

公元5世纪，中国祖冲之达到了3,1415926 < π < 3,1415927，这个记录持续了近一千年。如今，π 的小数位数已由计算机计算得出，但对于工程中的几乎所有内容，3,14159 就足够了。

在日常生活中

  • **车轮和里程表。**每转一圈，车轮都会行驶其长度 $C = 2\pi r$；汽车仪表板计算圈数。
  • 自行车。 轮辋为 29 的车轮与轮胎的直径约为 74 厘米：每转行驶约 2,3 米。
  • **田径跑道。**外侧车道的起点更靠前，因为它们的弯道更长。
  • **裁缝的卷尺。**测量腰围就是测量“周长”。

公式

选择半径并将轮子滚动一圈。展开的红色部分就是周长；黄色标记是直径。

Teorema周长

任何圆的长度 $C$ 与其直径 $d$ 之间的比率始终是相同的数字 $\pi \approx 3{,}14159$。像这样，

$$C = \pi \cdot d = 2\pi r.$$

Propriedade弧长

$\alpha$ 度的弧是圆周的分数 $\tfrac{\alpha}{360}$：

$$\ell = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r.$$

所有圆的比率 $C/d$ 相同的演示使用多边形的相似性，位于 [圆长度章节](/cn/posts/basic/geoplan/ensino-medio/）从高中开始。

练习

1

计算半径为 10 cm 的圆的长度（使用 $\pi \approx 3{,}14$）。

Ver resposta

$C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8\ \text{cm}$

2

圆桌的轮廓尺寸为 157 厘米。桌子的直径是多少？

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$d = \dfrac{C}{\pi} = \dfrac{157}{3{,}14} = 50\ \text{cm}$

3

直径为 70 厘米的车轮可行驶 1 公里。大约转了多少圈？

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每圈：$C = 3{,}14 \cdot 0{,}7 \approx 2{,}2\ \text{m}$。转弯：$1\,000 \div 2{,}2 \approx 455$。

4

半径为 12 cm 的圆中 90° 的弧长是多少？

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$\ell = \dfrac{90}{360} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 12 = 18{,}84\ \text{cm}$

是真是假？

  1. 任何圆的轮廓尺寸都略大于 3 直径。
  2. π 正好是 3,14。
  3. 通过将半径加倍，圆的长度加倍。
  4. 180° 的弧度为 2πr。

来源： 阿基米德 (MacTutor) · 祖冲之 (MacTutor) · π 的历史 (MacTutor)。