土地有多少平方米，墙上涂了多少油漆，旗帜上涂了多少布料？所有这些问题都与面积有关 - 几乎所有公式都来自一个：矩形。

谁发现的

我们记录的第一个面积计算来自来自埃及和美索不达米亚的抄写员：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算矩形、三角形甚至圆形区域的面积，巴比伦泥板显示梯形的面积。希腊人为这些规则提供了理由：在几何原本中，欧几里得（公元前300）证明了具有相同底和相同高度的平行四边形具有相同的面积（命题I.35），并且三角形是平行四边形的一半（I.41）。圆公式由阿基米德（公元前3世纪）证明。

故事

希腊人的想法是通过剪切和粘贴来比较图形，无需数字：如果一个图形可以分解并重新组装成另一个图形，则两个图形具有相同的面积。和下图的方法是一样的。

对于圆，埃及人使用的规则是“从直径取$\tfrac{1}{9}$并求其平方”，这相当于使用$\pi \approx 3{,}16$。阿基米德表明，圆的面积等于底等于周长、高等于半径的三角形的面积——即$\pi r^2$。

在日常生活中

  • 房产。 公寓的价格是每平方米的价格；该平面图显示了每个房间的面积。
  • **油漆和地板。**油漆和陶瓷的用量取决于墙壁和地板的面积。
  • 农业。 产量和种子按每公顷 (10 000 平方米) 计算。
  • 披萨。 直径为 40 厘米的披萨的面积几乎是 30 厘米披萨面积的两倍（1 257 平方厘米与 707 平方厘米）。

从矩形到其他图形

Resumo面积公式

数字 区域 主意
长方形 $A = b \cdot h$ 正方形的线
平行四边形 $A = b \cdot h$ 剪出一个三角形，然后把它变成一个长方形
三角形 $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ 平行四边形的一半
梯形 $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ 两个梯形组成一个平行四边形
钻石 $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ 矩形对角线的一半
圆圈 $A = \pi r^2$ 扇区形成“几乎矩形”
选择图形并拖动黄色顶点。高度始终是垂直于底座（虚线）测量的。

Atenção高度垂直于底座

在平行四边形和三角形中，高度不是斜边：它是底边和相对顶点之间的距离，以直角测量。在不改变底和高的情况下倾斜图形不会改变面积。

圆的面积

将圆切成扇形并上下交替安装。如果有许多扇形，图形就变成一个底长为 πr、高为 r 的矩形。

练习

1

一块矩形土地的尺寸为 12 米 x 5 米。你所在的地区是什么？

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$A = 12 \cdot 5 = 60\ \text{m}^2$

2

三角形的底为 10 厘米，高为 6 厘米。计算面积。

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$A = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30\ \text{cm}^2$

3

通道的截面是梯形，底边为 9 米，底边为 5 米，高为 4 米。截面面积是多少？

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$A = \dfrac{(9 + 5) \cdot 4}{2} = 28\ \text{m}^2$

4

菱形风筝的对角线为 16 厘米和 10 厘米。使用多少纸张？

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$A = \dfrac{16 \cdot 10}{2} = 80\ \text{cm}^2$

5

圆形花坛的半径为 3 米。计算其面积（使用$\pi \approx 3{,}14$）。

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$A = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}3\ \text{m}^2$

是真是假？

  1. 具有相同底和高的平行四边形和矩形具有相同的面积。
  2. 圆的半径加倍，面积也加倍。
  3. 三角形的面积是同底同高的平行四边形面积的一半。
  4. 在倾斜的平行四边形中，高度是斜边。

来源： 元素，命题 I.35 · 元素，命题 I.41 · 阿基米德 (MacTutor)。