Euler's Eyes
2026-10-16
等价：分数、时钟和高斯的 ≡
$\frac12$ 和 $\frac24$ 这两种写法是不同的：一个用数字 $1$ 和 $2$，另一个用 $2$ 和 $4$。一张比萨切成两块、你吃了一块，和一张比萨切成四块、你吃了两块，并不是同一回事：多切了一刀。然而我们毫不犹豫地写下
$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$这个等号断言的，不是写法相同，也不是比萨相同。它断言的是：就关心的东西而言——吃掉的量——它们无法区分。
就关心的东西而言相等
这正是等价关系的工作：把从某个角度看算作同一个的不同东西归为一组。对分数来说，判据是
$$\frac ab\sim\frac cd\quad\text{当且仅当}\quad a\cdot d=b\cdot c.$$对 $\frac12$ 和 $\frac24$：$1\cdot4=2\cdot2$。对 $\frac12$ 和 $\frac35$：$1\cdot5\neq2\cdot3$，两个分数不等价。
这样一种关系，只有当它也具备第1篇介绍的那三条定律——自反、对称、传递——时，才配得上一个长得像等号的符号。具备了这三条，它就会做一件了不起的事：把世界分成类，像一个个抽屉，每个对象恰好落进其中一个。与 $\frac12$ 等价的分数都在一个抽屉里；与 $\frac13$ 等价的在另一个抽屉里。
这里有一个由十九世纪数学明确提出的想法：有理数就是那个抽屉，而不是分数。$\frac12$、$\frac24$、$\frac36$ 是同一个对象——整个类——的不同名字。这是弗雷格的涵义与指称之分，从另一边看过去：不是从一个对象出发去找它的名字，而是从名字出发，把彼此等价的名字放在一起，构造出对象。
时钟
最日常的等价例子就在手腕上。$15$ 点时，时针指着 $3$。再过 $13$ 小时，时钟会走到 $3+13=16$，而 $16$ 显示为 $4$。对时针来说，$3$、$15$、$27$、$-9$ 全都一样：它们相差 $12$ 的倍数。
1801 年，卡尔·弗里德里希·高斯在《算术研究》的开头，给了这个想法一个名字、一个定义和一个符号。当两个数之差能被 $m$ 整除时，称它们模 $m$ 同余。他写道：
今后我们用这个符号 ≡ 表示数的同余，必要时在括号中附上模：−16 ≡ 9 (mod. 5)，−7 ≡ 15 (mod. 11)。
— 高斯，《算术研究》（1801），第 2 条
在一条脚注里，高斯解释了这个选择：他采用这个符号，“是因为相等与同余之间存在很大的类比”。这是一个符号学论证，与雷科德的论证同一类型：这个符号长得像等号，因为这种关系表现得像相等。三条短线而不是两条：几乎相等，但不完全相等。
会计算的记号
高斯的类比不只是视觉上的。同余式可以像等式一样相加和相乘：若 $a\equiv b$ 且 $c\equiv d$（mod $m$），则
$$a+c\equiv b+d\pmod m\qquad\text{且}\qquad ac\equiv bd\pmod m.$$这让 $\equiv$ 成为一种能动的记号。$7^{100}$ 除以 $6$ 余几？因为 $7\equiv1\pmod 6$，把这个同余式自乘一百次，$7^{100}\equiv1^{100}=1\pmod 6$。一个无法手算的问题变成了一行。
但这个类比有界限，而界限本身也很有教益。对等式来说，若 $2a=2b$，则 $a=b$。对同余来说却不然：$2\cdot3\equiv2\cdot0\pmod 6$，因为 $6$ 和 $0$ 的余数相同，但 $3\not\equiv0\pmod 6$。只有当一个因子与模没有公约数时，才允许从两边约去它。相似的符号邀请我们做对等号做的事，读者需要知道这个邀请在哪里结束。
练习：弃九验算
用弃九法检验 $347\cdot28=9716$。$347$：$3+4+7=14$，$1+4=5$。$28$：$2+8=10$，$1+0=1$。两个抽屉的乘积是 $5\cdot1=5$。再看结果：$9+7+1+6=23$，$2+3=5$。吻合。如果有人写成 $9176$，数字和也是 $23$，验算同样会通过，尽管计算是错的。
练习：星期几？
今天是星期五。$100$ 天后是星期几？星期每 $7$ 天重复一次，所以只需看 $100$ 模 $7$ 落在哪个抽屉：$100=14\cdot7+2$，所以 $100\equiv2\pmod 7$。$100$ 天后与 $2$ 天后是同一天：星期日。