Igualdade

Referências e créditos

Para aprofundar Euclides. Os Elementos. Tradução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora Unesp, 2009. As noções comuns e a estrutura das proposições. Proclo. A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements. Tradução de Glenn R. Morrow. Princeton: Princeton University Press, 1970. As seis partes de uma proposição. Frege, Gottlob. Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100, 1892, p. 25–50. Tradução brasileira em: Lógica e filosofia da linguagem. São Paulo: Cultrix/Edusp, 1978. Frege, Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau: Koebner, 1884. A citação de Leibniz está no §65. Wittgenstein, Ludwig. Tractatus Logico-Philosophicus. Londres: Kegan Paul, 1922. Sobre a identidade, proposições 5.53 a 5.5303. Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerhard Fleischer, 1801. A definição de congruência e o sinal ≡ estão nos artigos 1 e 2. Pascal, Blaise. Traité du triangle arithmétique. Paris: Guillaume Desprez, 1665 (escrito em 1654). A indução aparece na consequência 12. Dijkstra, Edsger W.; Scholten, Carel S. Predicate Calculus and Program Semantics. Nova York: Springer, 1990. O formato de prova com dicas. de Bruijn, Nicolaas G. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdã: North-Holland, 1958. As igualdades de mão única do $O$ grande. Halmos, Paul R. I Want to Be a Mathematician: An Automathography. Nova York: Springer, 1985. A origem do $\blacksquare$. Kieran, Carolyn. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, p. 317–326. Healy, Lulu; Hoyles, Celia. A study of proof conceptions in algebra. Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 2000, p. 396–428. Fischbein, Efraim. Intuition and proof. For the Learning of Mathematics, 3(2), 1982, p. 9–18 e 24. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. Sobre o $\equiv$ de Gauss e de Riemann e o $\therefore$ de Rahn. Earliest Uses of Symbols of Relation, Jeff Miller. Fontes das imagens Imagem Fonte Licença Retrato de Gottlob Frege, por Emil Tesch (c. 1905) Wikimedia Commons domínio público Página de rosto das Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801) Wikimedia Commons domínio público Primeira página do Triangulus Arithmeticus de Pascal, Bibliothèque du patrimoine de Clermont Auvergne Métropole Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0 O diagrama da soma dos ímpares e as figuras interativas (o relógio das congruências e os passos de uma resolução) foram produzidos para este livro e funcionam nos quatro idiomas do site. O registro das imagens baixadas, com o hash de cada arquivo, está em data/semiotica_imagens.json.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Como ler uma prova: roteiro e glossário

Este capítulo seguiu o sinal de igual desde uma linha de conta até uma prova inteira. Os roteiros abaixo juntam as perguntas que ajudam a ler os dois. Cinco perguntas para um sinal de igual Ele pergunta, afirma ou batiza? Se pergunta, é uma equação, e a tarefa é achar as soluções. Se afirma para todos os valores, é uma identidade, e a tarefa é prová-la. Se batiza, é uma definição, e a tarefa é aceitá-la e lembrar dela. Os dois lados têm o mesmo sentido ou só a mesma referência? Se o sentido é o mesmo, a igualdade é vazia. Se é diferente, ela ensina alguma coisa, e vale perguntar o quê. É igualdade de verdade ou equivalência? $\frac12=\frac24$ é uma igualdade entre números, mas uma equivalência entre frações. $17\equiv2\pmod5$ diz que dois números diferentes caem na mesma gaveta. Posso trocar um lado pelo outro aqui? Dentro de uma conta, sempre. Dentro de uma frase sobre o que alguém sabe ou escreveu, nem sempre. As três leis valem? Se a relação não é simétrica ($:=$, o $=$ do $O$ grande) ou não é transitiva ($\approx$), ela não é um igual de verdade, e as correntes $A=B=C$ deixam de funcionar. Cinco perguntas para uma prova O que exatamente está sendo afirmado? Encontre o enunciado e as suas letras: quais são quaisquer, quais são dadas. Onde está o “seja”? É ali que o geral vira particular. Confira que nada foi suposto sobre o caso particular além do que o enunciado dá. Que tipo de seta liga as linhas? Uma corrente de $=$ e $\Leftrightarrow$ pode ser lida nos dois sentidos. Uma corrente de $\Rightarrow$ só vale do começo para o fim. Onde abre e onde fecha cada hipótese? Toda vez que aparece “suponha”, procure onde ela termina. As letras introduzidas lá dentro não existem lá fora. O que foi omitido? Cada “é fácil ver”, cada reticência, cada “analogamente” é um passo que o leitor deve conseguir preencher. A leitura completa de uma prova curta Afirmação. Para todo inteiro $n$, o número $n^3-n$ é divisível por $6$. Prova. Seja $n$ um inteiro. Então $n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$, o produto de três inteiros consecutivos. Entre três consecutivos, um é múltiplo de $3$ e pelo menos um é par. Logo o produto é múltiplo de $2$ e de $3$, e portanto de $6$. $\blacksquare$

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Exemplos não provam: Euler, Pascal e a indução

Calcule $n^2+n+41$ para $n=0,1,2,3,\ldots$ $$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$São todos primos. Continue até $n=39$, e o resultado, $1601$, ainda é primo. Quarenta casos seguidos, nenhuma exceção. Em 1772, Leonhard Euler chamou a atenção para essa fórmula notável. E, mesmo assim, ela não gera só primos: com $n=40$, $$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$Quarenta exemplos não provaram nada. Um contraexemplo derrubou tudo. A tentação dos casos O polinômio de Euler não é uma curiosidade isolada. Em 1640, Pierre de Fermat observou que os números $2^{2^n}+1$ davam

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As palavras da prova: seja, suponha, logo, ∎

Leia esta prova curta: Afirmação. A soma de dois números pares é par. Prova. Sejam $m$ e $n$ números pares. Então existem inteiros $a$ e $b$ tais que $m=2a$ e $n=2b$. Logo $m+n=2a+2b=2(a+b)$. Como $a+b$ é inteiro, $m+n$ é par. $\blacksquare$ Tire as contas e sobra um esqueleto de palavras: sejam, então existem, logo, como, e um quadradinho preto no fim. Nenhuma delas é matemática no sentido de fazer conta, e todas são indispensáveis. São elas que dizem ao leitor o que cada linha está fazendo: introduzindo um objeto, tirando uma consequência, invocando um fato, encerrando.

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A cadeia de igualdades: como se prova uma identidade

Como se prova que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ para todos os números $a$ e $b$? Não testando valores: nenhuma quantidade de exemplos cobre todos os números. Prova-se escrevendo uma corrente: $$\begin{aligned} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=a(a+b)+b(a+b)\\ &=a^2+ab+ba+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$Cada igual liga dois vizinhos, e cada elo é garantido por uma regra conhecida: a definição do quadrado, a distributiva, a distributiva de novo, a comutativa da multiplicação. Pela transitividade, a lei de Euclides que o texto 1 apresentou, o primeiro elo vale o último. A prova é a corrente.

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⇒ e ⇔: o que se ganha e o que se perde ao transformar uma equação

Resolva a equação $$\sqrt{x+2}=x.$$O caminho usual é tirar a raiz elevando os dois lados ao quadrado: $$\begin{aligned} \sqrt{x+2}=x\quad&\Longrightarrow\quad x+2=x^2\\ &\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0\\ &\Longrightarrow\quad x=2\ \text{ou}\ x=-1. \end{aligned}$$As contas estão todas certas. A resposta não. Com $x=2$: $\sqrt{4}=2$, e a equação vale. Com $x=-1$: $\sqrt{1}=1$, que não é $-1$. A equação original tem uma solução, e o método encontrou duas. De onde veio o intruso? Uma equação por linha Quem resolve uma equação não faz contas com números: escreve uma sequência de equações, cada uma obtida da anterior. O que liga uma linha à seguinte não é um igual, é uma afirmação sobre as frases: “se esta é verdadeira, aquela também é”. A lógica tem dois sinais para isso.

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Equivalência: frações, relógios e o ≡ de Gauss

As escritas $\frac12$ e $\frac24$ são diferentes: uma tem os algarismos $1$ e $2$, a outra $2$ e $4$. Uma pizza cortada em duas fatias, das quais você come uma, não é a mesma coisa que uma pizza cortada em quatro, das quais você come duas: há um corte a mais. E, mesmo assim, escrevemos sem hesitar $$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$O que esse igual afirma não é que as escritas sejam iguais, nem que as pizzas sejam iguais. Afirma que, para o que interessa, a quantidade comida, elas não se distinguem.

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Equação, identidade, definição: três trabalhos do mesmo sinal

Uma mesma letra, $f$, e três frases: $$f(x)=x^2,\qquad f(x)=x\cdot x,\qquad f(x)=4.$$A primeira dá um nome: a partir daqui, $f$ é a função que eleva ao quadrado. A segunda enuncia uma lei: para todo $x$, o valor de $f$ é $x$ vezes $x$. A terceira faz uma pergunta: para quais $x$ a função vale $4$? A resposta é $x=2$ ou $x=-2$. O sinal é idêntico nas três. A tarefa do leitor, não:

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Frege e a estrela da manhã: o que diz a = b

Compare duas frases: $$1024=1024\qquad\text{e}\qquad 2^{10}=1024.$$As duas são verdadeiras, e as duas dizem que um número é igual a ele mesmo: $2^{10}$ é $1024$. Mesmo assim, ninguém aprende nada com a primeira, e a segunda é uma pequena descoberta, que custa dez multiplicações. Se o igual só dissesse “estas duas coisas são a mesma”, as duas frases diriam exatamente o mesmo. Então o que a segunda tem a mais? A estrela da tarde e a estrela da manhã Gottlob Frege (1848–1925), professor de matemática em Jena, que fez do sinal de igual um problema filosófico.Emil Tesch, c. 1905 · Wikimedia Commons · domínio público Essa pergunta incomodou o matemático alemão Gottlob Frege, que respondeu a ela em 1892 num artigo curto, Sobre o sentido e a referência. O exemplo dele vem da astronomia. Os gregos antigos chamavam de Héspero a estrela brilhante que aparece no oeste ao entardecer, e de Fósforo a que aparece no leste antes do amanhecer. Descobrir que as duas eram o mesmo astro, o planeta Vênus, foi uma conquista. “Héspero é Héspero” não ensina nada; “Héspero é Fósforo” ensina.

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Um sinal, muitos iguais

Robert Recorde inventou o $=$ em 1557 com uma justificativa simples: nenhuma coisa é mais igual do que duas paralelas de mesmo comprimento (o capítulo 1 conta essa história, no texto sobre os sinais das operações). O sinal pegou tão bem que hoje faz trabalhos que Recorde nunca imaginou. Veja estas linhas: $$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$O sinal é o mesmo em todas. O que ele diz, não. Em $3+4=7$, o igual registra um resultado. É a leitura que a calculadora ensina. Em $2x+1=7$, o igual faz uma pergunta: para que número isto é verdade? É uma equação. Em $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, o igual enuncia uma lei, válida para todos os números. É uma identidade. Em $f(x)=x^2$, o igual dá um nome: daqui em diante, $f(x)$ quer dizer $x^2$. É uma definição. Em $\frac12=\frac24$, o igual diz que duas escritas diferentes apontam para o mesmo número. Os textos seguintes deste capítulo tratam de cada um desses trabalhos. Antes, vale perguntar o que eles têm em comum.

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