Euler's Eyes
2026-10-15
用来推广的字母：从 3 + 5 = 5 + 3 到 a + b = b + a
算一算 $3+5$ 和 $5+3$：两次都得 $8$。再试 $12+7$ 和 $7+12$，$100+1$ 和 $1+100$。总是对的。可是要多少个例子才能确定呢？一千个？一百万个？多少个例子都不够，因为数对有无穷多个。
句子
$$a+b=b+a$$用另一种方式解决了这个问题。它不谈任何一对特定的数：它一次谈的是所有的数对。这里的字母 $a$ 和 $b$ 不像未知数那样隐藏一个值；它们代表任意的值。这就是乌西斯金所说的推广的算术。
想一个数
一个古老的聚会把戏：想一个数，乘以 2，加 $6$，除以 $2$，再减去你想的那个数。结果总是 $3$。
用例子可以增加信心：用 $5$，依次得到 $10$、$16$、$8$、$3$；用 $20$，依次得到 $40$、$46$、$23$、$3$。用一个字母就可以确定。把那个数叫作 $n$：
$$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$字母做到了例子做不到的事：它一次走遍了所有的数。它还说明了把戏为什么灵：想的那个数进去又出来，只有 $6$ 除以 $2$ 留了下来。
一步一步看这个把戏（点击前进）
- 想一个数：$n$。
- 乘以 2：$2n$。
- 加 $6$：$2n+6$。
- 除以 $2$：$n+3$。
- 减去想的那个数：$(n+3)-n=3$。$n$ 消失了；结果与它无关。
奇数之和
把最前面的几个奇数加起来：$1=1$，$1+3=4$，$1+3+5=9$，$1+3+5+7=16$。出现了平方数。要对每一个 $n$ 说这件事，我们需要一个字母：
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$式子 $2n-1$ 是第 $n$ 个奇数的画像：$n=1$ 时得 $1$，$n=4$ 时得 $7$。证明可以用另一个字母和一个倒着写的和来完成，就像少年高斯那样：把这列数和倒过来的自己相加，每一对都得 $2n$，共有 $n$ 对，所以和的两倍是 $2n\cdot n$，和就是 $n^2$。
当例子骗人的时候
例子可能很危险。1772 年，欧拉注意到式子
$$n^2+n+41$$在 $n=0, 1, 2, 3, \dots$ 时给出素数：$41$、$43$、$47$、$53$、$61$、$71$……一直试到 $n=39$，全是素数。连续四十个例子！可是当 $n=40$ 时：
$$40^2+40+41=1681=41^2,$$它不是素数。用字母写出来，不用计算就能看出失败：$n=40$ 时，$n^2+n+41=n^2+n+(n+1)=n(n+1)+(n+1)=(n+1)^2$。字母不仅能推广，还能显示推广在哪里失效。
韦达的“类”
把这个想法变成方法的，是 1591 年的弗朗索瓦·韦达。他把用字母进行的计算叫作 logistica speciosa，即用类（species）来计算，并把它与用数计算的 logistica numerosa 相对立。对韦达来说，“类”是一种一般形式，就像“马”这个类包括所有的马。他的重大创新是：已知量也用字母表示。这样一来，一个方程就可以代表一整族问题，解出它就同时解出了全部。
从符号学看，用来推广的字母是皮尔斯意义上的规约符，但属于一种特殊的类型：它代表的不是一个对象，而是一类对象，这一类中的任何成员都可以占据它的位置。带字母的句子就像一个承诺：“随便选一个你喜欢的数；等式仍然成立。”
练习：用字母证明两个奇数之和是偶数
任意一个奇数可以写成 $2m+1$，另一个写成 $2n+1$，$m$ 和 $n$ 是任意整数。和是 $2m+2n+2=2(m+n+1)$，是一个整数的两倍：它是偶数。注意我们需要两个不同的字母。如果只用一个，$2n+1$ 和 $2n+1$，我们证明的只是一个奇数的两倍是偶数。
练习：发明一个结果总是 5 的把戏
一种答案：想一个数 $n$，乘以 $4$，加 $20$，除以 $4$，再减去想的数：$\frac{4n+20}4-n=n+5-n=5$。一般的配方是乘以 $k$，加 $5k$，除以 $k$，再减去 $n$；字母表明这个把戏对任何 $n$、任何 $k\ne0$ 都灵。