Euler's Eyes
2026-10-15
未知数：为所寻之物留一个位置
未知数，字面意思就是不知道的数。但它不是随便什么东西：它是一个我们还不知道的确定的数。方程 $x+3=7$ 说的不是所有的数；它说的是一个数，任务是找出是哪一个。
为不知道的东西起名字
很长时间里，未知数的名字是一个词，而不是一个字母。
- 公元 250 年前后，亚历山大的丢番图在《算术》中把未知数叫作 arithmós，“数”，并用一个像词尾西格玛的记号 $\varsigma$ 来缩写。他还有未知数平方的缩写 $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis，幂）和立方的缩写 $K^{\Upsilon}$（kýbos）。
- 公元 820 年前后在巴格达，花拉子米把它叫作 shay’，东西，把它的平方叫作 māl，财富。他全部用文字书写，没有任何符号。
- 十五、十六世纪，意大利人把 shay’ 译作 cosa，而抄写意大利人著作的德国代数学家被戏称为 cossists（“东西派”）。1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔仍然给“东西”、它的平方和它的立方各用不同的记号：
在这些记号里，“东西”的平方和立方看上去都不像“东西”。按本书的说法，这是一种无生气的记号：要知道立方乘平方得到五次幂，必须背一张表。当笛卡儿写下 $x$、$x^2$、$x^3$ 时，规则 $x^3\cdot x^2=x^5$ 在指数里变得看得见了。第 1 章的从修辞到符号一文更详细地讲述了这一转变。
丢番图的一页
1621 年，法国人克洛德-加斯帕尔·巴歇出版了希腊文的丢番图《算术》，旁边附有拉丁文译文。这是第 II 卷第 8 题的一页：把一个给定的平方数分成两个平方数。
在巴歇的拉丁文里，未知数是 N，取自 numerus（数），它的平方是 Q，取自 quadratus（平方）：“Ponatur primus 1 Q”，设第一个平方数为 $1Q$。用今天的语言说，要把 $16$ 分成两个平方数，丢番图把第一个取作 $x^2$，第二个取作 $16-x^2$，并为第二个的边选一个形式 $2x-4$。条件是
$$16-x^2=(2x-4)^2=4x^2-16x+16,$$由此得 $5x^2=16x$，即 $x=\frac{16}5$。两个平方数是 $\frac{256}{25}$ 和 $\frac{144}{25}$，相加为 $\frac{400}{25}=16$。费马正是在这道题旁边写道：对于立方和更高次幂，这样的分法是不可能的。
作为指示符的未知数
用皮尔斯的语言（见第 2 章），未知数起的是指示符的作用：它指向一个存在但还没被看见的对象，就像一根手指指着一扇关着的门。$x$ 并不描述这个数；它只是给它占个位置。说出它是哪个数的，是方程所施加的条件。
所以，方程归根结底是一个问题：“哪个数具有这个性质？”可能的回答各不相同：
| 方程 | 答案 |
|---|---|
| $x+3=7$ | 只有一个：$4$ |
| $x^2=9$ | 两个：$3$ 和 $-3$ |
| $x^2=-1$ | 在实数中没有 |
| $x+1=x+1$ | 全部：这是恒等式，不是问题 |
| $x=x+1$ | 没有：这是矛盾 |
在最后两行里，字母不再是未知数。在 $x+1=x+1$ 中，$x$ 是任意的；在 $x=x+1$ 中，没有什么可找。同样的写法 $\square=\square$，可以是一个问题、一条定律，也可以是一个荒谬。
练习：换一条边，重做丢番图的题
把 $16$ 分成两个平方数，第二个的边取作 $3x-4$。条件是 $16-x^2=(3x-4)^2=9x^2-24x+16$，所以 $10x^2=24x$，$x=\frac{12}5$。两个平方数是 $\frac{144}{25}$ 和 $16-\frac{144}{25}=\frac{256}{25}$，和前面一样，只是顺序相反。丢番图知道边的选法是自由的：每种选法给出一个解，解有无穷多个。
练习：是不是未知数？
下面哪些句子里 $x$ 是未知数？(a) $2x+1=7$。(b) $2(x+1)=2x+2$。(c) 在实数中，$x^2+1=0$。
(a) 是：只有 $x=3$ 合适。(b) 不是：等式对每个 $x$ 都成立，这是恒等式。(c) 句子有问题的形式，但答案是“没有实数”：未知数指向的那扇门，在实数中打开后什么也没有。在复数中，门后是 $i$ 和 $-i$。
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