Euler's Eyes
2026-10-13
公式、表格与图像：处理与转换
1637 年笛卡儿出版《几何学》时，他既没有发明曲线，也没有发明方程。两者都已存在了几个世纪。他发明的是两者之间的一座桥：通过测量到一条参考直线的距离，把每条曲线变成一个方程，把每个方程变成一条曲线（今天所说的笛卡儿坐标系中那两条互相垂直的坐标轴，是在他之后才确立的）。笛卡儿平面首先是一部把一种书写翻译成另一种书写的机器。
这种翻译我们太熟悉了，以至于忘了它有多难。法国人雷蒙·杜瓦尔毕生研究为什么那么多计算很好的学生，一看到图像就卡住了，他得出的一个想法，今天已是数学教育的核心。
表征语域
杜瓦尔把有自己规则的符号系统称为表征语域：葡萄牙语或中文、代数书写、表格、笛卡儿坐标图、几何图形。同一个对象，比如“加倍再加一”的函数，在所有这些语域中都会出现：
- 用文字说：“对每个输入，输出是它的两倍加一”；
- 用公式写：$f(x)=2x+1$；
- 用表格列：数对 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$；
- 用图像画：一条在 $1$ 处与纵轴相交、每向右走 $1$ 就上升 $2$ 的直线。
拖动下面的图，在三种语域中追踪同一个点：
没有哪一种语域是其他语域的副本。公式最适合计算 $f(100)$。表格展示具体的情形，但只是一部分。图像一眼就显示出函数在增长，以及增长多少。文字说明我们在谈论什么。每一种都照亮了对象的一部分，又把另一部分留在暗处。
处理与转换
杜瓦尔最有用的区分，把两种看似相同、实则不同的活动分开了。
处理是在一个语域内部进行的变换。解方程是一种代数处理：
$$2x+1=7\iff 2x=6\iff x=3.$$约分、多项式因式分解、把表格各栏相加，也都是处理。它们遵循语域自身的规则，而学校把这类任务训练得很好。
转换是从一个语域到另一个语域的过渡：从公式到图像，从句子到方程，从表格到公式。要画出 $f(x)=2x+1$ 的图像，必须知道那个 $1$ 变成了直线与纵轴的交点，那个 $2$ 变成了斜率。没有任何代数规则教你这一点；你必须知道两个语域如何对应。
上面的表格给出了三个点。为什么可以用直线把它们连起来？不是因为这些点：三个共线的点也可以落在无穷多条弯弯曲曲的曲线上。可以连成直线，是因为公式说明了这个函数是一次函数。从表格到图像的转换，依赖于只有公式才有的信息。
骗人的转换
杜瓦尔注意到，有些转换容易，有些转换很难，难易取决于两种书写是否按同样的顺序进行。比较两个句子：
- “纵坐标等于横坐标的点的集合。”逐字按同样的顺序就变成 $y=x$。这是容易的转换。
- “纵坐标大于横坐标的点的集合。”它变成 $y>x$，图像是直线 $y=x$ 上方的半平面。许多学生会涂下方的区域，或者只画那条直线。
在第二句话中，“大于”这个词必须变成一个区域和一侧，而这个词本身并没有说出这些。杜瓦尔把两种书写的单位不能一一对应的转换称为不一致的转换。正是它们把死记步骤的人和理解对象的人区分开来。
在三种语域中的一个练习
考虑这句话：“一个实数的平方等于四。”
- 写成公式：$x^2=4$。
- 通过处理：$x^2=4\iff x=2$ 或 $x=-2$。
- 画成图像：解就是抛物线 $y=x^2$ 与水平直线 $y=4$ 交点的横坐标，交点是 $(-2,4)$ 和 $(2,4)$。
图像一眼就显示出公式所隐藏的东西：一条位于抛物线顶点上方的水平直线，总是在两个对称的点与抛物线相交。由此不用任何计算就能看出：当 $c>0$ 时 $x^2=c$ 有两个解，$c=0$ 时有一个，$c<0$ 时没有实数解。
练习：处理还是转换？
- 把 $2x+2$ 写成 $2(x+1)$：处理（代数到代数）。
- 画出 $y=2(x+1)$ 的图像：转换（代数到图像）。
- 列出 $y=2(x+1)$ 在 $x=0,1,2$ 时的值表：转换（代数到表格），得 $2$、$4$、$6$。
- 把表中的值相加：处理（在算术内部），得 $12$。
练习：从句子到半平面
画出“纵坐标小于横坐标两倍的点的集合”。这句话变成 $y<2x$。用虚线画出直线 $y=2x$（因为直线上的点不满足严格不等式），然后涂出它下方的区域。用一个点检验：$(1,0)$ 给出 $0<2$，成立，而 $(1,0)$ 确实在直线下方。用具体的点来检验，是防范不一致转换的最好办法。
想深入了解，可以读杜瓦尔的论文 A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics（2006）。