Euler's Eyes
2026-10-13
平方根：正方形的边与遗忘了来历的符号
两个看起来一样的问题：
| 问题 | 答案 |
|---|---|
| $\sqrt9$ 等于多少？ | $3$ |
| 哪些实数满足 $x^2=9$？ | $3$ 和 $-3$ |
很多人觉得第一行很奇怪。既然 $(-3)^2$ 也等于 $9$，为什么 $\sqrt9$ 不是“$\pm3$”？答案在第 1 章里，在这个符号古老的名字里。Radix quadrati 就是正方形的边。面积为 $9$ 的正方形边长是 $3$，没有哪条边的长度是 $-3$。
一个符号，一个值
现代数学把对正方形的记忆保存在一个定义里：对于 $a\ge0$，符号 $\sqrt a$ 表示平方等于 $a$ 的那个唯一的非负数。这也有句法上的理由。一个符号如果接收一个数后，有时给出一个值、有时给出两个值，就无法参与计算：$\sqrt9+1$ 是多少？$4$ 还是 $-2$？要让 $\sqrt{\phantom{a}}$ 像其他运算一样工作，它就必须给出一个答案，而几何告诉我们是哪一个。
这并没有抹掉 $-3$。它仍然是 $x^2=9$ 的解，显示两个解的写法是
$$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ 或 }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3.$$$\pm$ 出现在根号外面，因为有两个解的是方程，而不是符号。这就是为什么二次方程求根公式在根号前面写了一个 $\pm$：根号本身只给出一个值，$\pm$ 要求两个都要。
√(x²) 不等于 x
一个让许多人上当的推论：$\sqrt{x^2}$ 等于多少？人们很想把根号和平方“约掉”，写成 $x$。用 $x=-5$ 试一试：
$$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\ne-5.$$根号总是给出边长，而边长是正的。正确的写法是
$$\sqrt{x^2}=|x|,$$即 $x$ 的绝对值。在这里，能动的记号设了一个陷阱：$\sqrt{x^2}$ 的形状暗示了一种只在 $x\ge0$ 时才成立的约分。
装不下的对角线
正方形的边还藏着另一个惊奇。边长为 $1$ 的正方形有一条对角线 $d$，根据勾股定理，$d^2=1^2+1^2=2$。所以对角线是面积为 $2$ 的正方形的边：
$$d=\sqrt2=1.41421356\ldots$$希腊人大概在公元前五世纪发现，这个数不是分数：不存在整数 $p$ 和 $q$ 使 $\left(\frac pq\right)^2=2$。传说毕达哥拉斯学派的希帕索斯因为泄露了这个秘密而被扔进大海。这只是传说，却说明了震动之大：一条能用直尺画出来的线段，它的长度竟然没有任何分数写得出来。
在这里，符号做了大量工作。小数写法 $1.41421356\ldots$ 永不终止，也永不循环。写法 $\sqrt2$ 则是精确的，只占两个字符。它没有说这个数值多少，却说了它是什么：面积为 $2$ 的正方形的边。有了这个名字，就能做精确的计算，比如 $\left(\sqrt2\right)^2=2$ 或 $\sqrt8=2\sqrt2$，而不必写出一位小数。
符号与它的对象
用符号学的语言来说，平方根的问题是一个语义问题：同一个形状 $\sqrt{\phantom{a}}$ 有一个由定义固定下来的确切对象，而这个对象与形状似乎暗示的东西并不一致。正方形的图形证明不了任何关于负数的事情，但它解释了定义为什么是这样。一个忘记了自己来历的符号，用起来更快，也更容易用错。正如本站早期的文章所坚持的，找回这段记忆，是让符号恢复其能动性的一种方式。
练习：根号与绝对值
当 $x=1$ 和 $x=5$ 时，计算 $\sqrt{x^2-6x+9}$。
因为 $x^2-6x+9=(x-3)^2$，所以 $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$。$x=1$ 时：$|1-3|=2$。$x=5$ 时：$|5-3|=2$。直接验证：$x=1$ 时，$1-6+9=4$，$\sqrt4=2$；$x=5$ 时，$25-30+9=4$，$\sqrt4=2$。如果把根号“约掉”，就会写成 $x-3$，在 $x=1$ 时得到 $-2$，而这对根号来说是不可能的值。
练习：面积为 50 的正方形的边
边长是 $\sqrt{50}$。因为 $50=25\cdot2$，且 $25$ 和 $2$ 都是正数，所以 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2\approx5\cdot1.4142=7.071$。从几何上看：面积为 $50$ 的正方形是边长为 $10$（面积 $100$）的正方形的一半，它的边长是那个大正方形对角线的一半，即 $\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2$。