Euler's Eyes
2026-10-13
什么是符号？索绪尔、莫里斯与减号
葡萄牙语的 leviano（轻率的）一词来自 leve（轻）。一个轻率的人之所以“轻”，是因为他不掂量自己行为的后果。在诗里读到这个词的人，可以同时听到两层意思：轻盈与轻率。本站早期的文章把它当作“符号上能动的”词语的例子：词只有一个，阅读的路径却有两条，正是这一点让它丰富。
在数学里，一些朴素得多的符号也有类似的情况。看看一道简单的横线能扮演多少角色：
$$12-5,\qquad -5,\qquad -(a+b),\qquad -x.$$在第一个式子里，横线是两个数之间的运算：从 $12$ 中减去 $5$。在第二个里，它是一个数的名字的一部分：负五。在第三个里，它说“取括号里全部内容的相反数”。在第四个里，它说“$x$ 的相反数”，如果 $x$ 是负数，结果可能是正的。形状是同一个；变的是它所占的位置以及它的邻居。要读懂一个符号，光看它本身是不够的。
这正是符号学——研究符号的学问——所关心的：一样东西如何对某个人意味着另一样东西。
索绪尔：能指与所指
瑞士人费迪南·德·索绪尔（1857–1913）在日内瓦教语言学，却从没写过那本让他出名的书。他去世后，两位同事整理了学生的笔记，于 1916 年出版了《普通语言学教程》。
在索绪尔看来，符号有两个不可分割的面，就像一张纸的两面。一面是能指：被听到或看到的形式，比如“树”这个读音或这个字形。另一面是所指：这个形式唤起的概念。两者之间的联系没有任何自然的理由：
能指和所指的联系是任意的。
— 费迪南·德·索绪尔，《普通语言学教程》（1916）
“树”这个读音一点也不像一棵树；在葡萄牙语里它是 árvore，在英语里是 tree。几乎所有的数学符号也是如此。$+$ 不像一个和；$7$ 里面没有七个任何东西。正如我们在第 1 章看到的，雷科德甚至试图让 $=$ 看起来像“相等”，但使用它的人并不需要知道这一点。
索绪尔还强调了第二点，它对数学更为重要：一个符号的价值，也在于它与系统中其他符号的差别。$6$ 之所以表示六，部分是因为它不是 $5$ 也不是 $7$；$<$ 之所以表示“小于”，是因为它与 $>$ 相对立。一个孤立的、脱离系统的符号，几乎什么也不表示。
任意，但不自由
任意并不意味着每个人想怎么用就怎么用。共同体本可以为加法选另一个符号，但既然选了 $+$，就没有人能在计算中途不打招呼地改掉它。自由在于约定的起源；而使用约定则需要纪律。正因如此，数学书总是从定义符号开始；也正因如此，一种新记号只有在许多人学会以同样方式阅读它时，才能流行起来。
句法、语义与语用
1938 年，美国哲学家查尔斯·莫里斯提出把符号研究分成三个部分，本站早期的文章也采用了这种划分：
- 句法：符号彼此之间的关系。哪些组合是合乎规则的？$3+\times4$ 不是；$3+4\times2$ 是，规则规定先算乘法。
- 语义：符号与它所代表之物的关系。$\pi$ 指的是什么对象？圆周与直径之比，$3.14159\ldots$
- 语用：符号与使用者的关系。老师在黑板上写下 $x^2-5x+6=0$ 时想要什么？多半是要你求出解，而不是欣赏这个方程。
把莫里斯的划分用在字母 $x$ 上，就一清二楚了。在句法上，$x$ 在任何表达式里都占一个数的位置。在语义上，它可以是未知数（在 $x+1=4$ 中）、在某个集合中取值的变量（在 $f(x)=x^2$ 中），或一个坐标（在 $x$ 轴上）。在语用上，“求 $x$”和“设 $x$ 为任意一个数”要求相反的态度：前者是去寻找；后者是什么也不找，只做一般的推理。
这三个层面总是同时起作用，数学中的许多困难，就产生于其中一个层面出了问题。把 $-3^2$ 读成 $9$ 的学生犯的是句法错误：乘方先于负号，$-3^2=-(3^2)=-9$。认为 $\sqrt{9}$ 可以是 $-3$ 的学生犯的是语义错误，我们后面会看到。题目问的是“它有几个解？”却去解方程的学生，犯的是语用错误。
练习：减号的角色
在 $f(x-h)-f(x)$ 中有两道横线。括号里的那道是运算：在应用 $f$ 之前，从 $x$ 中减去 $h$。括号外的那道也是运算，但是在函数的两个值之间。而在 $-x^2$ 中，横线表示相反数，在乘方之后才作用：当 $x=3$ 时，$-x^2=-9$，而 $(-x)^2=9$。
练习：同一个 x，三种读法
在 $2x+1=7$ 中，$x$ 是未知数，问题是哪个值使等式成立（$x=3$）。在 $g(x)=2x+1$ 中，$x$ 是变量：没有什么要求的，只有一条对每个 $x$ 都成立的规则。在“直线 $2x+1=y$ 与 $x$ 轴交于 $-\tfrac12$”中，$x$ 是坐标，也是一条轴的名字。三种写法的句法相似；语义和语用却变了。