几乎每个学生都学会了说“正弦”“余弦”“直角边”和“斜边”，却不知道这些词原本是什么意思。它们是要背的标签，就像陌生城市里的街名。但每个词都曾经是一段描述，有些还藏着意想不到的故事。比如正弦（sine），就是一次翻译失误的产物。

拉丁文里的毕达哥拉斯

几何学中最著名的定理，在很长一段时间里，是一句关于真正的正方形的话——画在三角形各边上的正方形。本站早期的文章按照中世纪的方式把它写成：

$$\textit{quadratum lateris } a \textit{ et quadratum lateris } b \textit{ aequalis quadratum lateris } c,$$

“边 $a$ 上的正方形与边 $b$ 上的正方形之和，等于边 $c$ 上的正方形”。边长为 $3$、$4$、$5$ 时，正方形的面积是 $9$、$16$、$25$，而 $9+16=25$ 确实成立。边长 $6$、$8$、$10$：$36+64=100$。今天我们写作

$$a^2+b^2=c^2,$$

而指数 $^2$ 的名字本身仍带着它所出自的图形：“平方”。这个定理并不只属于希腊。约公元前 1800 年的一块巴比伦泥板“普林顿 322”列出了满足这一关系的数组；中国的《周髀算经》用一幅叫作“勾股”的图证明了 $3$、$4$、$5$ 的情形，“勾”和“股”就是中文里两条较短边的名字。

直角边与斜边

在欧洲语言里，直角三角形各边的名字来自希腊语，原本是对位置的描述。直角边的西文名 cathetus 来自 káthetos，意思是“垂下来的东西”，这个词也指泥瓦匠的铅垂线：直角边就是垂直于另一条边落下的那条边。斜边的西文名 hypotenuse 来自 hypoteínousa，意思是“在下面绷紧的”：它是在直角下方从一端延伸到另一端的那条边，就像弓上的弦。

这些名字是用语言做成的像似符：它们说明了每条边在哪里。一旦变成标签，图像就消失了。对懂希腊语的人来说，“斜边是最长的边”几乎不言自明；对只背过这个词的人来说，这又是一条规则。中文的“勾、股、弦”同样是图像：勾是曲尺短的一边，股是长的一边（像大腿），弦则是弓弦。

等边三角形与特殊角

学校要求背的正弦、余弦值，比如 $\frac12$、$\frac{\sqrt3}{2}$、$\frac{\sqrt2}{2}$，都来自两个图形。把边长为 $a$ 的等边三角形沿高 $h$ 切成两半：出现两个直角三角形，角为 $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$，斜边为 $a$，一条直角边为 $\frac a2$。由毕达哥拉斯定理，

$$h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2\quad\Longrightarrow\quad h^2=\frac{3a^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{a}{2}\sqrt3.$$

斜边取 $1$ 时，$30^\circ$ 角的对边长 $\frac12$，$60^\circ$ 角的对边长 $\frac{\sqrt3}2$。把正方形沿对角线切开，就得到 $45^\circ$ 角，两条直角边都等于 $\frac{\sqrt2}2$。要背的那张表，不过是对两个图形的阅读。

正弦：一次误读

三角学里最奇怪的词，有着最奇特的历史。大约公元 500 年，印度天文学家阿耶波多不用弧所对的整条弦，而用半弦，称之为 ardha-jya，后来干脆叫 jya：在梵语里，这是猎弓的弦。阿拉伯天文学家采用了这个概念，把这个词音译成 jiba，而它在阿拉伯语里没有任何意思。由于阿拉伯文书写通常省略元音，这个词就只剩下 jb。

十二世纪，克雷莫纳的杰拉德等拉丁文译者把 jb 读成了 jaib，这是一个真正的阿拉伯词，意思是褶、口袋，即衣服在胸前的褶。于是他们用拉丁文中对应的词来翻译它：sinus，意思是褶、胸怀、海湾。从此，弧的半弦就叫 sine（正弦），只因为一个没人写出来的元音。

度、分、秒

巴比伦人用六十进制计数，希腊天文学家把这种写法继承下来用于角度：一整圈是 $360$ 度，每度分成 $60$ 份，每份再分成 $60$ 份。托勒密把前者称为“第一小部分”，后者称为“第二小部分”。拉丁文译者写成 partes minutae primae 和 partes minutae secundae。前一个短语缩成了 minute（分），后一个缩成了 second（秒）。当你看钟表时，你其实在不知不觉地读一种从希腊文译成拉丁文的巴比伦记号。

$$1^\circ=60'\qquad 1'=60''\qquad\text{所以}\qquad 1^\circ=3600''.$$

符号 $'$ 和 $''$ 保留了这种计数：一撇表示第一次细分，两撇表示第二次。

练习：等边三角形里的 sin 60°

取边长为 $2$ 的等边三角形。高把底边分成两段，每段长 $1$，$h^2+1^2=2^2$，所以 $h=\sqrt3$。在得到的直角三角形中，斜边为 $2$，$60^\circ$ 角的对边为 $\sqrt3$，$30^\circ$ 角的对边为 $1$。所以 $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2$，$\sin30^\circ=\frac12$。注意 $\sin^2 60^\circ+\sin^2 30^\circ=\frac34+\frac14=1$：这又是毕达哥拉斯定理。

练习：六十进制的角度

把 $12.35^\circ$ 写成度、分、秒。整数部分是 $12^\circ$。剩下 $0.35^\circ=0.35\cdot60'=21'$，正好整除。所以 $12.35^\circ=12^\circ21'$。那么 $0.1^\circ$ 呢？是 $6'$，也就是 $360''$。六十进制之所以流传下来，是因为 $60$ 有很多因数：$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$10$、$12$、$15$、$20$ 和 $30$。

资料来源： Plimpton 322, MacTutor · Eli Maor，Trigonometric Delights（1998）· Florian Cajori，A History of Mathematical Notations。

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