Euler's Eyes
2026-10-13
欧几里得：图形与证明
大约公元前 300 年，在亚历山大城，欧几里得把希腊几何汇编成十三卷，这就是《几何原本》。两千多年来，它是世界上读者最多的数学书，而它的第一个命题就展示了这本书的工作方式：
在一条给定的有限直线上作一个等边三角形。
— 欧几里得，《几何原本》第一卷命题 1
做法很简短。设 $AB$ 是给定的线段。以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径画一个圆；以 $B$ 为圆心、同样的半径再画一个圆。把两圆的一个交点叫作 $C$。那么 $AC=AB$，因为两者都是第一个圆的半径；$BC=AB$，因为两者都是第二个圆的半径。等于同一个量的量彼此相等，所以 $AC=BC=AB$，三角形 $ABC$ 是等边的。
注意这里用的是什么样的书写。没有运算符号，没有方程，也没有 $x$。有的是文字，是图形，以及把两者连起来的字母。文中的字母 $C$ 指向图中一个特定的点；没有它，就得说“两个圆相交的那个点，上面那个”。欧几里得的字母，是数学中最早的标签。
图形展示，文字证明
欧几里得的图总是特定的图：一个有着这些角度、这个大小、在纸上这样倾斜的三角形。可是命题对任何线段 $AB$ 都成立。一张特定的图，怎么能支撑一个普遍的断言呢？
希腊人的回答是：它支撑不了。负责证明的是文字，一步一步，只使用已经定义和公设的东西。图形引导眼睛，帮助人不迷路，但证明中没有一句话说“如图可见”。每当图形似乎显示了某种文字没有论证的东西，读者完全有权怀疑。
看一个我们以后还会用到的例子。三角形的中线连接一个顶点和对边的中点。随便画一个三角形，画一条中线，图形似乎暗示它把三角形分成了面积相等的两部分。
“似乎”是不够的。证明是这样的：分出的两个三角形底边相等（被截的那条边的两半），高相同（顶点到底边所在直线的距离，对两者是一样的）。三角形面积等于底乘高的一半，所以面积相等。注意，这个证明不依赖于图中的任何测量：对一个高的、扁的或歪的三角形，它同样成立。
没有字母的欧几里得
1847 年，爱尔兰工程师奥利弗·拜恩出版了《几何原本》前六卷的一个版本，想法很大胆：用颜色代替字母。他不写“角 $ABC$ 等于角 $DEF$”，而是画一个红色的小角、一个等号，再画一个红色的角。文字几乎消失了，证明变成一连串彩色的图。
这本书很美，至今仍作为艺术品重印。但它从未成为书写数学的方式。彩色印刷昂贵，经不起黑白复印，最重要的是它不能扩展：图中有二十个点时，没有人分得清二十种色调。欧几里得的字母在色彩旁边显得寒酸，却是更能动的记号：它们可以组合（$AB$、$ABC$），可以在别的命题中重复使用，也可以大声读出来。
适合证明，不适合计算
希腊几何用文字和图形做一切事情，包括今天所说的代数。我们写作 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 的恒等式，在《几何原本》（第二卷命题 4）中是这样的：“如果任意分一条线段，则整条线段上的正方形等于两段上的正方形加上两段所夹矩形的两倍。”它是正确的，也被证明了，可是在计算中很难使用。
这就是本章接下来要跨越的边界。希腊的书写非常擅长说明为什么某件事是真的，但处理未知量时却很笨重。当问题开始要求这样的处理时，数学就需要另一种书写了。
练习：用坐标看中线
取顶点为 $A=(0,0)$、$B=(6,0)$、$C=(1,4)$ 的三角形。$AB$ 的中点是 $M=(3,0)$。三角形 $AMC$ 的底 $AM=3$，高为 $4$（$C$ 的纵坐标），所以面积是 $\frac{3\cdot4}{2}=6$。三角形 $MBC$ 的底 $MB=3$，高同样是 $4$，面积也是 $6$。整个三角形的面积是 $\frac{6\cdot 4}{2}=12$。即使 $C$ 偏得很靠左，中线仍然把面积平分了。
练习：测量能证明吗？
你画一个三角形，用量角器量出三个角是 $61^\circ$、$58^\circ$、$62^\circ$，加起来是 $181^\circ$。这推翻了“内角和是 $180^\circ$”的定理吗？没有：测量有误差，图只是一种表示。即使正好量出 $180^\circ$，也证明不了定理，因为那只对那一个三角形成立。欧几里得的证明（第一卷命题 32）过一个顶点作对边的平行线，利用内错角相等：这个论证一次就对所有三角形成立。