Euler's Eyes
2026-10-13
Radix quadrati：数学也有自己的书写
问一个学生 9 的平方根是多少，他多半会回答“3”。再问它为什么叫“根”，又为什么叫“平方”，谈话通常就到此为止了。这个名字已经变成一个空洞的标签，而符号 $\sqrt{\phantom{9}}$ 也成了一个奇怪的钩子，好像要从数里“拔出”什么东西。
可是这个名字曾经讲述了全部的故事。希腊几何学家把要找的数直接叫作边（pleurá）：面积为 9 的正方形，边长是 3。阿拉伯代数学家称它为 jidhr，也就是正方形从中“长出来”的根；中世纪的拉丁文译者写作 radix。像这样一句话：
$$\textit{radix quadrati 4 aequalis 2}$$说的意思一点也不神秘：面积为 4 的正方形，边长等于 2。
从拉丁文到钩子
并没有人在某一天决定用符号代替句子。手抄计算的人会把最常重复的词缩写，缩写又一代比一代更短。下面的步骤是示意性的，但它遵循了从中世纪手稿到十六世纪印刷书籍之间书写所走过的道路：
radix quadrati 如何变成 √（点击继续）
- radix quadrati 4 aequalis 2：“面积为 4 的正方形，边长等于 2”。
- rad. quad. 4 aeq. 2：抄写者把最常重复的词缩写。
- R. q. 4 aeq. 2：几乎只剩下字母 R，十六世纪的卡尔达诺和邦贝利仍在使用。
- $r\,4 = 2$：在德语文献中，一个拉长的小写 r 表示开方。
- $\sqrt{4}=2$：r 的笔画伸长，把数“吞”了进去。克里斯托夫·鲁道夫在 1525 年印出了这个符号；1637 年，笛卡儿加上了盖住被开方数的横线。
符号赢得了速度，却丢掉了记忆。今天读到 $\sqrt{4}$ 的人，已经看不到正方形了。所以当学生问 $\sqrt{4}$ 是 $2$ 还是 $-2$ 时，最清楚的答案来自那个古老的名字：边的长度不会是负的。现代约定 $\sqrt{a}$ 总是取非负值，正是这个符号所遗忘的几何留下的直接遗产。
数学是用符号做成的
翻开任何一本数学书，你会看到文字、数字、字母、符号、箭头、图形和空白的混合。我们学会把这种混合读得几乎理所当然：看到 $3+4=7$、$x^2$、$\frac{a}{b}$ 或 $\int_a^b f(x)\,dx$，就能毫不费力地认出其中的运算和关系。但这种阅读是学来的，而每一个符号都有自己的出生日期。
看看下面的时间线。它展示了六个时刻，在这些时刻，书写方式改变了思考方式：
符号学研究符号：纸上的一个记号，如何对某个人产生意义。本书用符号学的工具，从一个不常见的角度看数学。我们不仅问“这个公式说了什么？”，还要问：这种写法让我们能做什么？
能动的记号与贫瘠的记号
比较同一内容的两种写法，是看清差别的最好办法。牛顿和莱布尼茨几乎在同一时期发明了微积分，时间是 1660 和 1670 年代。牛顿用字母上方的一个点来写 $y$ 的变化率：$\dot{y}$。莱布尼茨写作 $\dfrac{dy}{dx}$。就内容而言，两者没有区别。对于动手计算的人，区别就大了。看看两种写法下的链式法则：
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \qquad\text{与}\qquad \dot{z}=\ldots\;?$$在莱布尼茨的写法里，这条法则几乎是自己写出来的：$dy$ 好像被“约掉”了，就像分数相乘一样。在牛顿的写法里，没有什么可看的，只能记住法则。莱布尼茨的记号提示下一步；牛顿的记号只是记录一个结果。
在本书中，我们把形状本身带着对象关系、因而帮助我们发现新东西的写法，称为能动的记号。本站早期的作者用一个拉丁短语来称呼它：mirabilis abbreviatio，奇妙的缩写，它缩短了文字，却没有缩短思想。我们把那种或许能正确记录已知内容、却指不出任何方向的写法，称为贫瘠的记号。带零的位值制是能动的；用罗马数字做计算则是贫瘠的。纳皮尔的对数把乘法变成加法，是能动的。平方根一旦失去了对正方形的记忆，在学习者的头脑里就有变得贫瘠的危险。
好的记号把大脑从一切不必要的工作中解放出来，让它能够专注于更高深的问题，实际上增强了人类的智力。
— 怀特海，《数学导论》（1911）
这并不意味着符号替我们思考，也不意味着定理的真假取决于符号的外形。它意味着，数学作为一种人类活动，是用符号来完成的：我们用符号提出问题、进行计算、书写证明，而这些符号的形状会让某些道路变得容易，又把另一些道路隐藏起来。在接下来的文章里，我们将追随这段历史：学会计算的数字，伴随证明的图形，用字母代替文字的代数，运算的小符号，以及牛顿的点和莱布尼茨的 $d$ 之间的大争论。
练习：从拉丁文翻译并画图
Radix quadrati 81 aequalis 9 是说：面积为 $81$ 的正方形，边长是 $9$。用现代记号写，就是 $\sqrt{81}=9$，因为 $9\cdot 9=81$。图形是一个由 $9\times 9$ 个小正方形组成的正方形。
那么面积为 $2$ 的正方形，边长是多少？它是存在的（就是边长为 $1$ 的正方形的对角线），但它既不是整数，也不是分数：$\sqrt{2}=1.41421\ldots$
练习：立方体的边
“体积为 27 的立方体，边长等于 3”用拉丁文说是 radix cubica 27 aequalis 3。用现代写法，就是 $\sqrt[3]{27}=3$，因为 $3\cdot3\cdot3=27$。钩子上那个小小的 $3$，就是 cubica 这个词留下的痕迹。