现代数学中最重要的关系之一是等价关系。顺便说一句，它们出现在数学研究的很大一部分中。

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等价关系

在上一篇文章中，我们展示了一些属性，例如：

  • 反光的;
  • 对称；
  • 及物;
  • 反对称。

其中一些必须是等价关系。

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定义（等价关系）： 如果 $\mathcal{R}$ 是自反、对称和传递的，则集合 $A$ 上的关系 $\mathcal{R}$ 被称为 $A$ 上的等价关系。

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示例

为了说明这一点，请看以下示例：

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示例 1： 定义为 $\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$ 的对角关系是 $A.$ 上的等价关系 这是 $A$ 上的“最小”等价关系

示例 2： $A\times A$ 与 $A$ 的关系是 $A.$ 上的“最大”等价关系

示例 3： 让 $A=\mathbb{Z}$。关系：

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$

是整数集合上的等价关系。

等价类模块 R

定义 令 $\mathcal{R}$ 为非空集合 $A.$ 上的等价关系 对于每个 $a \in A,$，$A$ 的子集定义为

$$\overline{a} = \\{x \in A;\quad x \mathcal{R} a\\},$$

据说是由元素a模块$\mathcal{R}$确定的等价类。

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以 $\mathcal{R}$ 为模的等价类集合将由 $A/R$ 表示，并称为 $A$ 与 $\mathcal{R}$ 的商集。

请注意，如果 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $A,$ 上的等价关系，那么对于所有 $a \in A,$，我们有 $a \in a,$，即每个等价类都是 $A.$ 的非空子集

示例 3： 让 $A=\mathbb{Z}$。关系：

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$ 收藏
  • 对于 $0\in \mathbb{Z}$
$$ \begin{aligned} \overline{0} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} \\ \end{aligned} $$
  • 对于 $1 \in \mathbb{Z},$ 我们有
$$ \begin{aligned} \overline{1} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-1 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+1, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} +1 \end{aligned} $$
  • 对于 $2 \in \mathbb{Z},$ 我们有
$$ \begin{aligned} \overline{2} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-2 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+2, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} +2 \end{aligned} $$
  • 对于 $3 \in \mathbb{Z},$ 我们有
$$ \begin{aligned} \overline{3} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-3 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+3, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} = 0 \end{aligned} $$

等价关系的结果

接下来我们将看到 $\mathbb{Z}/\mathcal{R} = \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$ 等价关系的一个重要结果

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定理 设$\mathcal{R}$是非空集$A$和$a, b \in A.$上的等价关系，以下命题是等价的：

  • (a) $a\mathcal{R} b$
  • (b) $a \in b$
  • (c) $b \in a$
  • (d) $a = b.$

演示：

  • (a) $\Longleftrightarrow$ (b)

它紧随等价类的定义而来。

  • (b) $\Longrightarrow$ (c)

    • 根据类定义，$a \in b$ 意味着 $a\mathcal{R} b$。
    • 正如$a\mathcal{R} b$由于$\mathcal{R}$的对称性而暗示$b\mathcal{R} a$一样。
    • 因此，$b\mathcal{R} a$ 通过类定义暗示 $b\mathcal{R} \overline{a}$。

  • (c) $\Longrightarrow$ (d)

请注意，$\overline{a}$和$\overline{b}$是两组。这样，显示$\overline{a} = \overline{b}$就相当于显示：

  • (1) $\overline{a} \subseteq \overline{b}$
  • (2) $\overline{b} \subseteq \overline{a}$
  1. 让我们证明 $\overline{a} \subseteq \overline{b}$。

对于 $x \in \overline{a},$，我们有 $x\mathcal{R} a$，根据假设，$b \in \overline{a},$ 我们还有 $b\mathcal{R} a.$

由于$\mathcal{R}$是对称的，因此我们得到$x\mathcal{R} a$和$a\mathcal{R} b$。这一事实意味着 $\mathcal{R}$ 的传递性 比 $x\mathcal{R} b$。因此，$x \in b$。

  1. 类似的。
  • (d) $\Longrightarrow$ (a)

让 $x \in \overline{a} = \overline{b}.$ 然后，根据类定义，我们有 $x\mathcal{R} a$ 和 $x\mathcal{R} b$。

现在，根据$\mathcal{R}$的对称性和传递性，我们得到$a\mathcal{R} b$。

$\square$

结果的应用

现在让我们显示语句 $\mathbb{Z}/\mathcal{R} = \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$

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对于 $A = \mathbb{Z}$ 和 $\mathcal{R} = \\{(x, y) \in Z × Z; ~ x − y \text{ é múltiplo de } 3\\}$

请注意 $\mathbb{Z}/\mathcal{R} \supseteq \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$

如果 $a \in \mathbb{Z}/\mathcal{R},$ 那么当我们将 $a$ 除以 $3,$ 时我们得到 比 $a = 3q + r,$ 与 $r = 0, 1$ 或 $2.$

在本例中，我们有 $r \in a$。根据前面的定理，我们有 $a = r$

因此$\mathbb{Z}/\mathcal{R} \subseteq \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}$。

这是等价关系的总结。等待接下来的帖子。