Euler's 歐拉的眼睛
2022-10-30
皮亚诺公理
当谈论自然数时，自然数的公理定义是必要的。为此，我们将展示如何定义自然数的基本运算。
皮亚诺公理
最初，我们将公理地定义自然数集合 $\mathbb{N}$。为了描述这些属性，我们将使用符号 0（零）和 s（后继）。
- (a) $0 \in \mathbb{N};$
- 零属于自然数集合。
- (b) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \in \mathbb{N};$
- 对于属于自然数集合的每个数字，后继者都属于自然数。
- (c) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \neq 0;$
- 对于属于自然数集合的每个数，后继都不同于零。
- (d) $\forall m,n \in \mathbb{N}\quad s(n)=s(m) \Rightarrow n=m;$
- 对于属于自然集合的每两对数字，使得后继者相等，这意味着这些数字是相等的。
- (e) 令 $P(x)$ 为 $\mathbb{N}.$ 元素的属性应用：
- (i) $P(0);$
- (ii) $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(n)\Rightarrow P(s(n))$ 那么它对所有 $n \in \mathbb{N}.$ 都有效 $P(n)$
公理 $(e)$ 被称为归纳原理。如果我们将符号 $s(n)$ 解释为 $n + 1.$，则集合 $\\{0, 1, 2, \dots\\}$ 满足上述属性。要注意归纳原理在这样的集合中成立，假设它不成立。然后是 $n$ 最小的值，不值得 P(n)。
请注意，$n$ 不能是 $0$，因为我们让它值 $P(0).$
然后我们知道 $n = m + 1$ 对于某些 $m \in \\{0, 1, 2, \dots\\}.$
作为 $m < n,$，我们知道它值得 $P(m).$
因此，值得$P(s(m)).$但是$P(s(m)) = P(m + 1) = P(n)$，矛盾。
提案
命题 1。 我们对所有 $n \in \mathbb{N}.$ 都有 $s(n) \neq n$
演示。
让我们用归纳法来证明这一点。换句话说，要得出我们想要的结论，我们只需要利用归纳原理证明公式$P(x)$对于所有$x \in \mathbb{N},$都有效，其中$P(x)$是$s(x) \neq x.$
为了通过归纳法证明这一点，我们需要证明 $P(0)$ 是值得的，并且如果 $P(n)$ 值得 $P(s(n)).$
请注意，$0 \neq s(0)$ 为 $0 \in \mathbb{N}$（由 (a) 表示），因此由 (c) 表示为 $s(0) \neq 0$。 现在让 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $n \neq s(n).$
假设$s(n) = s(s(n)).$
到 (d) 时，我们得到 $n = s(n)$，这与我们的假设相反。
$\square$
命题 2。 如果 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n \neq 0,$
那么存在 $m \in \mathbb{N}$ 使得 $n = s(m).$
演示。
为了展示这个结果，我们将通过归纳法来展示它。这
对于公式 $P(x)$ 对于所有 $x \in \mathbb{N}$，其中 $P(x)$ 是公式
$$x \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{existe} ~m~ \text{tal que} \quad x = s(m)$$请注意
$$0 \neq 0 \Rightarrow \exists m,\quad 0 = s(m)$$仅仅因为它无效 $0 \neq 0$（暗示的右侧也无效也没关系）。
现在假设对于某些
$$n \in \mathbb{N}, \quad n \neq 0 \Rightarrow \exists m \quad n = s(m).$$假设 $s(n) \neq 0.$ 考虑 $m = n.$
请注意，然后是我们想要的 $s(n) = s(m)$。
$\square$
自然数的后继
示例： 3 的后继者是 4
$$s(3)=4$$
| 数字 | 接班人 |
|---|---|
| $1$ | $s(1)=2$ |
| $2$ | $s(2)=3$ |
| $3$ | $s(3)=4$ |
| $4$ | $s(4)=5$ |
数字对1和2$(1,2)$是连续的数字。
儿童以及埃及成年人或古代人都以继承者的概念来添加数字。例如，给定 $a=7$ 和 $b=6$，每个后继获得的总和由下式给出：
因此，阿拉伯十进制中的$7+6=13$。
这些是皮亚诺公理的概念。等待接下来的帖子。