Ao falarmos de números naturais é necessário uma definição axiomática para os números naturais. Para isto, mostraremos como definir para os números naturais, as operações básicas. Axiomas de Peano Inicialmente vamos definir axiomaticamente o conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais. Para descrever tais propriedades, vamos usar os símbolos 0 (zero) e s (sucessor). (a) $0 \in \mathbb{N};$ O zero pertence ao conjuntos dos números naturais. (b) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \in \mathbb{N};$ Para todo número pertencente ao conjuntos dos naturais, o sucessor pertence aos naturais. (c) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \neq 0;$ Para todo número pertencente ao conjuntos dos naturais, o sucessor é diferente de zero. (d) $\forall m,n \in \mathbb{N}\quad s(n)=s(m) \Rightarrow n=m;$ Para todo dois pares de números pertencentes ao conjuntos dos naturais, tal que os sucessores são iguais, implica que estes números são iguais. (e) Seja $P(x)$ uma propriedade sobre elementos de $\mathbb{N}.$ Se valem: (i) $P(0);$ (ii) $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(n)\Rightarrow P(s(n))$ Então vale $P(n)$ para todo $n \in \mathbb{N}.$ O axioma $(e)$ é conhecido como princípio de indução. O conjunto $\\{0, 1, 2, \dots\\}$ satisfaz as propriedades acima se interpretamos o símbolo $s(n)$ como $n + 1.$ Para notar que vale o princípio de indução em tal conjunto, suponha que não vale. Então existe $n$ o menor tal que não vale P(n).