Euler's Eyes
2026-09-26
OBMEP 2023 – 第二阶段 – 级别 2：完整分辨率
官方材料： 完整证明 · OBMEP解决方案 · 年度精选。
以下分辨率遵循官方笔记本的编号。打开测试，遵循陈述、替代方案和图表；这里的解释是版权。在检查答案之前尝试每个问题。
问题 1 — 卡片和倍数
a) 一种可能性是 $6,2,4,8,1,9,3$。检查这些对，我们可以将它们整除：6被2，4被2，8被4，8被1，9被1和9被3整除。
b) 有八张牌：$9,3,6,2,4,8,1,5$。没有数字重复，并且每个相邻对都满足规则。
c) 使用 $5,1,7$ 或其相反顺序。在可用的卡中，只有1可以与5相邻，只有1可以与7相邻。
d) 如果我们使用九张卡，5和7必须位于末端，都连接到1。但这将形成整个部分 $5,1,7$，而无法附加另一张卡：1 已经有它的两个邻居。因此，九没有先后顺序。
问题 2 — 等位加法
将每期写为 $111a$，并带有 $1\le a\le9$。因此，只需按升序处理三个不同数字的总和即可。
a) 作为$1332=111\cdot12$，我们可以选择$3+4+5=12$：$333+444+555=1332$。
b) 对于 $2109=111\cdot19$，我们需要 $a c) 为 $s=a+b+c$，其中 $6\le s\le24$。从个位到十位的进位是$u=\lfloor s/10\rfloor$。下一个传输是$v=\lfloor(s+u)/10\rfloor$。十位和百位数字来自 $s+u$ 和 $s+v$，对 10 进行模缩减。对于$s=6,\ldots,9$，我们有$u=v=0$；对于 $10\le s\le18$、$u=v=1$；至 $20\le s\le24$、$u=v=2$。唯一的例外是 $s=19$、$u=1$ 和 $v=2$。对应的结果是**$111\cdot19=2109$**。 a) 房间尺寸为 $7\times7$，两张地毯的面积均为 14。其交集尺寸为 $2\times2=4$。通过包含-排除，发现的区域为**$49-(14+14-4)=25\text{ m}^2$**。 b) 在第二种排列中，使用垫子共有的 MN 对角线。它将每个垫子分成面积为 7 的两个三角形。由于垫子是全等的，因此从它们的顶点到 MN 的距离相等。如果该距离为 $h$，则为 $MN\cdot h/2=7$。与房间的两半相比，具有相同的底边 MN 和高度 $h$：每一半的面积为 $MN\cdot h=14$。所以房间有 $28\text{ m}^2$。 c) 用$I$表示重叠区域。垫子的并集面积为 $14+14-I=28-I$。当房间的尺寸为 28 时，其未覆盖部分的尺寸为 $28-(28-I)=I$。因此，未覆盖区域和重叠区域是相等的。 黑色写P，白色写B；这些单词是绕圈读的，识别转弯和倒转。 a) 这两个类是 PPBB 和 PBPB：一起黑色或单独黑色。 b) 有三个类，分别为PPPBBB、PPBPBB和PBPBPB。我们按照连续黑人的最大数量进行分类：三个、两个或一个。 c) 固定四个白色并记录四个区间内黑色的数量。缺少旋转和反射，所有的可能性都是
排序来自4的分区：四个一起；三加一，相邻或相对的间隔；两对，也是邻居或相反；一对和两个孤立的，空间隔与该对相邻或相对；或全部分开。所以有八个手镯。 使用这两个规则：添加 5 保留颜色；白色产品必须至少具有一种白色因子。 a) $38-3=35$ 是 5 的倍数。从 5 到 5 返回七次，我们得出结论：3 是白色。 b) 如果$4=2\cdot2$是白色，则因子2之一必须是白色；因为它们是相同的，2 是白色的。 c) 如果 1 是白色，则根据第一条规则，16 也是白色。作为$16=4^2$，4是白色，与b项相同。 d) 让我们展示这两个含义。如果 3 为白色，则 8 也为白色。在$8=2\cdot4$中，要么2直接为白色，要么4为白色并且项目b强制2为白色。相反，如果2是白色，则12也是白色。在$12=3\cdot4$中，3为白色，或者4为白色。在最后一种情况下，9 为白色，因为它与 4 的区别为 5，而 $9=3^2$ 使 3 为白色。因此，当且仅当 3 为白色时，2 为白色；否则，两者都是黑色的。 在下表中，每个字母代表一个三个正方形的棋子；匹配的字母形成 L。从上到下阅读行，从左到右阅读列。 a) 考虑到 A 到 E 的五个初始部分，完整的覆盖范围是： 有 12 块，每块有三个空格，不重叠：$12\cdot3=36$。 b) 将 A 和 B 保留在给定位置并添加 C、D、E 和 F： 点代表一个免费的房子。要放置 L，某个块 $2\times2$ 需要有三个可用空间。在此配置中，每个块$2\times2$至少有两个占用的块；因此不适合第七块。 c) 将棋盘分为九个不相交的块 $2\times2$。五块仅占据 15 空间。如果所有街区都有两栋有人居住的房屋，则至少需要 18。因此，任何块最多有 1 个已占用，至少有 3 个空闲。块$2\times2$中的任何三个正方形形成一个L；所以多一件总是合适的。 返回年份 2023·【图书索引】(https://www.eulereyes.com/cn/posts/obmep/).
问题 3 — 地毯和重叠
问题 4 — 手链
问题 5 — 着色规则
问题 6 — L 形件
A A F F G G
B A F H H G
B B E H I I
C C E E J I
C D K J J L
D D K K L L
. A A B B .
. A . . B .
. C C D D .
. C . . D .
. E E F F .
. E . . F .