官方材料： 完整证明 · OBMEP解决方案 · 年度精选。

以下分辨率遵循官方笔记本的编号。打开测试，遵循陈述、替代方案和图表；这里的解释是版权。在检查答案之前尝试每个问题。

模板

问题 答案
1–5 B · B · E · C · D
6–10 A · E · A · B · E
11–15 E · B · D · C · D
16–20 D · E · C · B · D

问题 1 — 重叠

它是最后粘的。 A在其下方且在B上方； B 覆盖了 C 和 D。因此前两个是 C 和 D，第三个是 B，第四个是 A，第五个是 E。替代 B。

问题 2 — 路径和直接距离

图中的每个偏差都覆盖了正方形的三条边，而其在 AB 上的投影仅测量了一条边。如果这些边的尺寸为 $a,b,\ldots,g$，则距离为 $3(a+b+\cdots+g)=6$ 公里。直接距离 AB 是不带因子 3 的总和：2 km — B。

问题 3 — 球分布

两个连续的盒子收到 $2+3=5$ 个球。前 404 对将 2020 球放在 808 盒子中。框809接收2021和2022；下一个接收2023、2024和2025。球 2023 位于方框 810 — E 中。

问题 4 — 产品差异

使用 $u=20235$ 和和与差的乘积：

$$u^2-(u+3)(u-3)=u^2-(u^2-9)=\boxed9.$$

替代方案 C. 恒等式避免了两次广泛的乘法。

问题 5 — 行驶距离

在 60 公里/小时的速度下，四小时内可行驶 240 公里。如果两个完整路段的测量值为 $x$ 和 $D-x$，则在指定时间之间行驶的部分为 $3x/4+3(D-x)/4=3D/4$。因此 $3D/4=240$ 和 $D=320$ km — D。

问题 6 — 方程和反函数

作为 $x^2-3x+1=0$，我们有 $x\ne0$。将方程除以 $x$，我们得到 $x+1/x=3$。正方形：

$$x^2+2+\frac1{x^2}=9\quad\Rightarrow\quad x^2+\frac1{x^2}=\boxed7.$$

替代方案 A。 结果对于两个根都有效。

问题 7 — 正方形的面积

黄色区域分为面积为 $3l^2$ 和 $2l^2$ 的三角形，根据网格中的底边和高度计算。由于总和为30、$5l^2=30$。每个正方形的面积为**$6\text{ cm}^2$ — E**。

问题 8 — 带部首的乘积

将八个因子按对分组，仅 1 的符号不同。将$s=\sqrt2+\sqrt3$和$t=\sqrt2-\sqrt3$组合起来，完整的产品是$(s^2-1)^2(t^2-1)^2$。像$s^2-1=4+2\sqrt6$和$t^2-1=4-2\sqrt6$一样，

$$[(4+2\sqrt6)(4-2\sqrt6)]^2=(16-24)^2=\boxed{64}.$$

替代方案 A。

问题 9 — 年龄识别

只有8岁的孩子才会撒谎，而对他来说唯一错误的句子就是否认8岁。其他句子都是正确的：否认9的孩子有7；否认7的人有9。请求的标识位于 B 中。

问题 10 — 路径

两个突出显示的极值点各允许一条路径。两个内部点中的每一个都允许六条到达路线和六条出发路线。四种情况并不重叠，因为位移只允许向上或向右前进。总计：$1+36+36+1=74$ — E。

问题 11 — 比赛中的优势

比较得出 $v_B/v_A=80/100$ 和 $v_C/v_B=380/400$。相乘，

$$\frac{v_C}{v_A}=\frac45\cdot\frac{19}{20}=\frac{19}{25}.$$

当 André 行进 800 米时，Carlos 行进 $800\cdot19/25=608$ 米。所需的优势是**$800-608=192$ m — E**。添加两个原始优势将忽略不同的比赛距离。

问题 12 — 相切圆

调用外半径和内半径 $R$ 和 $r$。小圆的中心位于 角平分线 角 60°。与切点形成的三角形的角度为30°，因此从该中心到顶点的距离为$2r$。由于中心的内部相切和对齐，该距离为 $2R-r$。所以 $2R-r=2r$ 或 $R=3r/2$。

蓝色区域与粉色区域的比例为

$$\frac{\pi r^2}{\pi R^2-\pi r^2}=\frac{1}{9/4-1}=\boxed{\frac45}.$$

替代方案 B.

问题 13 — 平方和毕达哥拉斯

如果白色方块的边长为 $L$ 且指示的偏移量为 $x$，则蓝色边长为 $L+x$ 和 $L-x$。蓝色区域的总和是$2L^2+2x^2$。突出显示的直角三角形具有斜边 2，因此具有 $L^2+x^2=4$。因此总和为8 — D。

问题 14 — 与禁止总和的配对

10到76中与43不同的66个数组成33对，其总和为86。每对只能使用一个。编号43和23、编号77至99不会创建另一个禁止对。最大值为$33+1+23=57$，通过选择43至99即可达到。 替代 C.

问题 15 — 区域重组

10 cm 的线段和 60° 的角度允许在碎片相交处形成平行四边形。它的对角线将彼此切成两半；因此，离开中心四边形的每个三角形都有一个全等三角形来填充凹痕。转移这些对而不改变区域。得到的轮廓是边长为 20 厘米的正方形：内角等于结构中指示的 30° 和 60° 角度之和。该区域为**$20^2=400\text{ cm}^2$ — D**。

问题 16 — 成为乘积的总和

1至17之和为$17\cdot18/2=153$。删除$a$和$b$，条件为$153-a-b=ab$。添加 1 和因子：

$$154=ab+a+b+1=(a+1)(b+1).$$

两个因素都在 2 和 18 之间。在$154=2\cdot7\cdot11$的成对分频器中，只有$11\cdot14$响应。因此 $\{a,b\}=\{10,13\}$ 和请求的产品是 130 — D。

问题 17 — 脸上的数字

如果相对面上的乘积是常数，则对于某个正整数 $t$，1、3 和 6 相对的数字是 $6t,2t,t$。视图中的产品 98 不能使用面 3 和 6，因为 98 不是 3 的倍数。您也不能使用$6t$。因此它使用$1,2t,t$，$2t^2=98$给出$t=7$。这六个数字是$1,3,6,42,14,7$；最大的是42 — E。

问题 18 — 人群

五个女孩习惯呆在一起，可以占据从 1 到 6 之间任何位置的一个方块。每个位置都有 $5!\cdot5!$ 种方法来排序女孩和男孩，因此 6 个箱子的权重相同。只有当女孩的街区在一端时，男孩才会呆在一起。概率为**$2/6=1/3$ — C**。

问题 19 — 条状折叠

用 $a$ 表示长度，用 $b$ 表示宽度。在正方形叠加中，边的尺寸为 $b$，对角线的尺寸为 $b\sqrt2$。由于折叠的对称性，长度的一半是这条对角线与相邻等腰直角三角形中得到的长度$2b$的截面之和。所以，

$$\frac a2=b\sqrt2+2b\quad\Rightarrow\quad\frac ab=\boxed{2(2+\sqrt2)}.$$

替代方案 B. 区分重叠正方形的边与其对角线：它们是产生因子 1 和 $\sqrt2$ 的因素。

问题 20 — 提款锦标赛

如果 $N$ 名玩家留下，他们将互相进行 $N(N-1)/2$ 场比赛。令 $k$ 为三个退出者之间的匹配数，$0\le k\le3$。每个退出者的两次出场加起来为6，但其中两人之间的比赛被计算两次。因此，额外的总数为 $6-k$ 并且

$$\frac{N(N-1)}2+6-k=50.$$

我们需要一个介于44和47之间的三角数；唯一的一个是 45，还有 $N=10$ 和 $k=1$。将三名退出者加起来，有 13 名玩家 — D。

返回年份 2023·【图书索引】(https://www.eulereyes.com/cn/posts/obmep/).