OBMEP 2021 - 第一阶段

IMPA 门户视频 - 六年级练习

OBMEP 2021 - 级别 3

练习1：

下面蜂巢里的黑色小房子里装满了蜂蜜，白色的小房子里空空如也。蜜蜂还必须填满多少个空房子才能使空房子的数量等于有蜂蜜的房子的数量？

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

答案：B
总计：14 个小房子
目标：7白色和7黑色。
2白色的小房子应该变成黑色。

练习2：

在骰子上，任意两个相对面上的数字之和为 7。 不可见的三个面上的数字之和是多少？

(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 14
(E) 15

答案：E
面孔不可见：
- 编号 6（与 1 相对）
- 编号 5（与 2 相对）
- 编号 4（与 3 相对）
目标：不可见数字的总和。
$$S=6+5+4=15$$

练习3：

哪个数字大于 0,37 且小于 0,7？

(A) 0,307
(B) 0,073
(C) 0,737
(D) 0,377
(E) 0,703

答案：D
陈述：
- 最小值：0,37
- 最高值：0,7
目标：0,37 和 0,7 之间的数字是多少。

首先，值得记住的是：

$$0,37 = 0,370$$

$$0,7 = 0,700$$

用数学符号表示：

< 是小于号（如果我们剪切该符号，它类似于 4）。
> 是大于符号（如果我们剪切该符号，它类似于 7）。

下一步是对数字进行排序。

$$\underbrace{0,073}_{\text{resposta B} } < \underbrace{0,307}_{\text{resposta A} } < \underbrace{0,370}_{\text{texto (Enunciado)} } < \underbrace{0,377}_{\color{red}{\text{resposta D (correta)} } } < \underbrace{0,700}_{\text{texto (Enunciado)} } < \underbrace{0,0703}_{\text{resposta E} } < \underbrace{0,737}_{\text{resposta C} }$$

练习4：

罗伯托在他的车库里铺了新地板。他把买的白色和黑色瓷砖都用了。每个白色瓷砖的成本为 R$ 5,00，每个黑色瓷砖的成本为 R$ 2,00。他买瓷砖花了多少钱？

(A) R$ 85,00
(B) R$ 88,00
(C) R$ 145,00
(D) R$ 150,00
(E) R$ 175,00

答案：B
陈述：
- 白色瓷砖成本 R$ 5,00
- 黑色瓷砖成本 R$ 2,00
目标：您购买瓷砖花了多少钱。
白色瓷砖：
- 成本 R$ 5,00
- 白色瓷砖数量：6 $$\text{Ladrilho Branco} = LB = R\$ 5 \times 6 = R\$ ~ 30,00$$
黑色瓷砖：
- 成本 R$ 2,00
- 白色瓷砖数量：29 $$\text{Ladrilho Preto} = LP = R\$ 2 \times 29 = R\$ ~58,00$$

$$\text{Total gasto} = T = 30+58 = 88$$

$$\text{Total gasto} = R\$~ 88,00$$

练习5：

一家文具店出售 6 件装的铅笔和钢笔。如果单价不变，一盒三支铅笔和两支钢笔要多少钱？

(A) 20
(B) 22
(C) 23
(D) 24
(E) 30

答案：C
陈述：
- 装有 6 笔的盒子售价 R$ 42,00
- 装有 6 铅笔的盒子成本为 R$ 18,00
目标：一个装有 3 支铅笔和 2 支钢笔的铅笔盒要多少钱。
每支铅笔的成本：
- R$ 18,00 除以 6 = R$ 3,00
每支笔的成本：
- R$ 42,00 除以 6 = R$ 7,00
3 支铅笔的成本：
- R$ 3,00 乘以 3 = R$ 9,00

$$C = 3\times 3=9$$

2 笔的成本：
- R$ 7,00 乘以 2 = R$ 14,00

$$L = 7\times 2=14$$

因此，带有 3 铅笔和 2 钢笔的情况：

$$\text{Estojo} = E = C + L = 14 + 9 = 23$$

$$\text{Estojo} = R\$ 23,00$$

练习6：

Margarida 用数字 1、2、3 和 4 填写了表中的八个空格。她这样做了，发现在任何行或列中都没有出现两个相同的数字。出现在表格四个角的数字的乘积是多少？

(A) 20
(B) 22
(C) 23
(D) 24
(E) 30

答案：E
目标：表格 4 角的数字的乘积是多少。

解决方案1： 算法：

在左上角的框中，放置数字 2，因为在该框周围有 1、4 和 3。
在右上角的框中，输入数字3，因为它前面的数字是2、1和4。
其他的都遵循这个思路，组成如下形式：

值得记住的是，数字的乘积等于数字之间的乘法。这样，我们就有：

$$\text{Produto} = P = 1\times 2\times 3\times 4\times = 24$$

解决方案2：

数独中的数字不会重复。这样，角点的唯一选项就是 1,2,3,4。

$$\text{Produto} = P = 1\times 2\times 3\times 4\times = 24$$

练习7：

打开一张纸，将其剪成较小的正方形，不留任何褶皱。他切了四个面积等于 400 cm² 的正方形，每个面积等于 100 cm² 的 9 个正方形，每个面积等于 25 cm² 的 21 个小正方形。阿尔贝托切割之前纸张的侧面尺寸是多少？

(A) 25
(B) 30
(C) 40
(D) 50
(E) 55

答案：E
陈述：
- 切割 4 平方面积 400 cm²
- 切割 9 平方面积 100 cm²
- 切割 21 平方面积 25 cm²
目标：Alberto 切割纸张之前，纸张侧面的尺寸是多少。

面积计算：
- 切割 4 平方面积 400 cm²
  $$A_1 = 4\text{ quadrados } \times 400 ~cm^2 = 1600 ~cm^2$$
- 切割 9 平方面积 100 cm²
  $$A_2 = 9\text{ quadrados } \times 100 ~cm^2 = 900 ~cm^2$$
- 切割 21 平方面积 25 cm²
  $$A_3 = 21\text{ quadrados } \times 25 ~cm^2 = 525 ~cm^2$$
- 全部的：
  $$\text{Área total} = A_T = A_1 + A_2 + A_3 = 1600 + 900 + 525 = 3025 ~cm^2$$

练习8：

多米诺骨牌游戏由 28 个不同的矩形块组成，每个块又分为两个正方形。在每个方块中，都会出现 0 到 6 点。有多少个棋子的球总数等于或大于 7？

(A) 9
(B) 10
(C) 12
(D) 21
(E) 24

答案：C
陈述：
- 28 不同的矩形块。
- 每个都分为 2 个方格。
- 在每个方块中，出现从0到6的数字。在以下示例中，4 和 1 分别出现在方框中。
目标：有多少个棋子的球总数等于或大于 7。

弹珠总数等于或大于 7 的弹珠组合为：

练习9：

帕特里夏有五块由相同正方形制成的纸板：四块每块有两个正方形，一块只有一个正方形。她用这些碎片组成了一个正方形，并在上面写下了字母表的前九个字母。我们可以肯定地说，单个正方形的棋子所对应的字母

(A) 是元音
(B) 是字母 C
(C) 是字母 G
(D) 不是字母 B、D、F 或 H 中的任何一个。
(E) 是正方形角上的字母之一

答案：D
陈述：
- 5 由相同正方形制成的纸板件：
  - 4 与 2 方块
  - 1 与 1 正方形

以下组合消除了答案 A、B、C 和 E

为了证明它是D，我们荒谬地假设要覆盖的棋子是B。

B 件旁边可能有双件的唯一选择。

剩下的就是填写下一个双块。我们可以选择（E，H），（G，H）或（H，I）。不失一般性，让我们选择a(E,H)。

这样，就不可能用双子覆盖方格G和I。同样，您可以对 D、F 或 H 执行相同的操作。

练习10：

在图中我们看到一个大正方形被分成了25个相等的正方形。灰色区域对应大正方形面积的几分之几。

(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 2/5
(D) 3/5
(E) 1/25

答案：C

只需如图所示转移对称块即可：

$$\frac{2\text{ altura} }{5\text{ base} }= \frac{2}{5}$$

练习11：

在 Quixajuba 社区，开展了一项筹款活动来翻修运动场。该图显示了有多少人捐赠了相同金额的雷亚尔。例如，40 人捐赠了 30 雷亚尔。筹集的资金总额是多少（雷亚尔）？

(A) 4000
(B) 5000
(C) 5100
(D) 6000
(E) 6100

答案：E

$$\text{Arrecadação} = 10\times 100 + 30 \times 20 + 40\times 30 + 20\times 40 + 50 \times 50$$

$$\text{Arrecadação} = 1000 + 600 + 1200 + 800 + 2500$$

$$\text{Arrecadação} = 6100~\text{ reais} $$

练习12：

体操比赛只分第一名和第二名，具体如下：要么两者都获得第一名，在这种情况下，没有人获得第二名。其中另一个排在第一位，另一个排在第二位。 Almira、Betânia、Cecília、Dinorá 和 Esmeralda 参加了本次比赛。它们可以有多少种不同的分类方法？

(A) 5
(B) 15
(C) 20
(D) 30
(E) 120

答案：D
陈述：
- 2 人们可以先找到我。没有一个是第二位的。
- 1 排在第一位，另一个排在第二位。
- 竞争对手：
  - A=阿尔米拉，
  - B=伯大尼，
  - C=塞西莉亚，
  - D=迪诺拉，
  - E = 祖母绿。第一种可能性是 Almira 和其他人：

正如阿尔米拉（Almira）已经做到的那样，让我们将贝尔米拉（Belmira）视为获胜者：

正如 Almira 和 Belmira 已经做到的那样，让我们将 Cecília 视为获胜者：

正如阿尔米拉、贝尔米拉和塞西莉亚已经取得的成绩一样，我们将迪尼拉列为获胜者。由于重复无效，因此 Dinorá 作为获胜者或 Esmeralda 作为获胜者没有任何区别：

因此，我们有（AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE）作为获胜的可能性或（第一，第一）的可能性。

现在（第一，第二）重复的可能性是有效的，即是（AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE）的两倍

$$\text{Total} = \underbrace{10}_{\text{(primeiro, primeiro)} } +\underbrace{2\times 10}_{\text{(primeiro, segundo)} } = 30~\text{possibilidades}$$

练习13：

为了获得正确的相等性，我们必须按顺序在圆和正方形内放置哪些符号？

(A) = e x
(B) x e =
(C) = e +
(D) + e =
(E) = e -

答案：E
A的计算（错误）：
$$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} \times \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{12}\neq 1$$
B的计算（错误）：
$$\frac{7}{12}\times \frac{8}{6} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{9}\neq \frac{3}{4}$$
C的计算（错误）：
$$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} + \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{12}\neq \frac{25}{12}$$
D的计算（错误）：
$$\frac{7}{12}+ \frac{8}{6} = \frac{3}{4}$$

$$\frac{23}{12}\neq \frac{3}{4}$$
E的缓存（右）：
$$\frac{7}{12}= \frac{8}{6} - \frac{3}{4}$$

$$\frac{7}{12}= \frac{8\times \color{red}{4} }{6\times \color{red}{4} } - \frac{3\times \color{red}{6} }{4\times \color{red}{6} }=\frac{32}{24} - \frac{18}{24} $$

$$\frac{7}{12}= \frac{14}{24}= \frac{7 \times \color{red}{2} }{12 \times \color{red}{2} }$$

练习14：

阿尔弗雷多通过以下方式发明了密码：

它选择 5 字母的序列

接下来，它将所选序列中的字母交换为来自两种算法的数字，并使用下表对字母进行编码。字母 A 编码为 05，字母 B 编码为 06，依此类推，直到字母 Z 编码为 47。

在创建某个密码时，获得的数字混淆了，但阿尔弗雷多注意到它们是1、2、4、4、4、5、6、7、8和8。正确的说法是，在该密码中，出现在编码字母之间。

(A) 字母 F
(B) 字母 G
(C) 字母 H
(D) 字母 L
(E) 字母 Z

答案：E

信	编纂
A	05
B	06
C	07
D	08
E	09
F	15
G	16
H	17
I	`18`
J	19
L	25
M	26
N	27
O	`28`
P	29
Q	35
R	36
S	37
T	38
U	39
V	45
X	46
Z	`47`

请注意以下文字：

字母不能用以 4（单位为 4）结尾的数字编码。
以4（十位4）开头的字母是X、Y和Z。
这样，Z 就会出现在 Alfredo 的密码中。
其他字母是 I 和 O。

练习15：

上周，Zulmira 阿姨在她附近的商店购买了 12 个羊毛球和 18 个纽扣。您总共购买了 36 雷亚尔。今天她回到商店，看到球在打折，纽扣还是一样的价格。她趁机买了36个毛线团和54颗纽扣，总共花了72雷亚尔。商店对每个球给予什么折扣？

(A) R$ 0,25
(B) R$ 0,50
(C) R$ 0,75
(D) R$ 1,00
(E) R$ 1,25

答案：D
陈述：
- 购买日期 1：
  - 12 羊毛球
  - 18 按钮
  - 总支出 36 雷亚尔
- 购买日期 2：
  - 36 羊毛球
  - 54 按钮
  - 总支出 72 雷亚尔

注意：

购买日期 2：
- 36 羊毛球 = 3 x 12 羊毛球
- 54 按钮 = 3 x 18 按钮
- 总支出 72 雷亚尔
第二次购买无折扣的价格将是第一次购买价格的三倍：
- 3 x 36 = 108
与总支付额的差异：
- 108 - 72 = 36 实数
由于第二次购买了36个球，折扣为36雷亚尔。
- 每球折扣的 36 折扣除以 36 比 1 实际折扣。

练习16：

一些火星人头上有7触角，而另一些火星人头上有9触角。在载有火星机组人员的飞碟上，其头部的天线总数为 69。我们可以说，在这个飞碟里确实有。

(A) 6 火星人
(B) 9 火星人
(C) 10 火星人
(D) 11 火星人
(E) 12 火星人

答案：B

具有 7 天线的火星人和具有 9 天线的火星人的总和由下式给出：

$$ \begin{aligned} \underbrace{7 m_1}_{M_7} + \underbrace{ 9 m_2}_{M_9} &= 69 \\ M_7 + M_9 &= 69 \\ \end{aligned} $$

下一步是分解69：

$$69 = 3\times 13$$

这样，我们就必须

火星人的总和是3的倍数。
零不能在集合中。
我们将丢弃 m2 乘以 9，因为它给出的 81 大于 69

为了理解，让我们构建组合：

马西亚诺 7 天线 (m1)	马西亚诺 9 天线 (m2)	和
1	3	$$1\times 7 + 3\times 9 = 7 + 27 = 34$$
1	6	$$1\times 7 + 6\times 9 = 7 + 54 = 61$$
3	1	$$3\times 7 + 1\times 9 = 21 + 9 = 30$$
3	3	$$3\times 7 + 3\times 9 = 21 + 27 = 48$$
3	6	$$3\times 7 + 6\times 9 = 21 + 54 = 75$$
`6`	`3`	$$6\times 7 + 3\times 9 = 42 + 27 = 69$$

因此，

$$m_1+m_2 = 3+6=9$$

练习17：

João 有 3 支黄色、米色和灰色铅笔。他想绘制下面的图，以使具有公共边的多边形不具有相同的颜色。他可以用多少种不同的方式来绘制这幅画？

(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 36

答案：C
案例1：

我们假设有 3 种可能性来绘制 I。
有了这个，我们就有1的可能性来绘制III，它与I相同。
2 II 的可能性，因为它们必须具有与 I 和 III 不同的颜色。
2 IV 的可能性，因为它们必须具有与 I 和 III 不同的颜色。

然后，

$$C_1 = 3\times 1\times 2\times 2 = 12$$

案例2：

我们假设有 3 种可能性来绘制 I。
这样，我们就有2种可能性来绘制与I不同的III。
1 II 的可能性，因为它是剩余的颜色。
1 IV 的可能性，因为它是剩余的颜色。

然后，

$$C_2 = 3\times 2\times 1\times 1 = 6$$

因此，我们总共有：

$$\text{Total} = C_1+C_2 = 12+6=18$$

练习18：

矩形 PQRS 的周长为 76 cm，被分成 9 个较小的矩形，图中用字母 A 到 I 表示。已知矩形 B、D、F 和 H 的周长分别为 22、18、32 和 26 cm，那么区域 E 的周长是多少？

(A) 16 厘米
(B) 20 厘米
(C) 22 厘米
(D) 24 厘米
(E) 26 厘米

答案：C 根据对称性，我们可以注意到：

在本例中，我们将以几何方式显示矩形的其中一个周长。

$$\text{Perímetro}_D = 2a+ 2e = 18$$

以类似的方式：

$$\text{Perímetro}_B = 2b+ 2d = 22$$

$$\text{Perímetro}_F = 2c+ 2e = 32$$

$$\text{Perímetro}_H = 2b+ 2f = 26$$

总之：

$$ \begin{cases} 2a+ 2e = 18\\ 2b+ 2d = 22\\ 2c+ 2e = 32\\ 2b+ 2f = 26\\ \end{cases} $$

当我们添加 2 边时： $$$$

$$ \begin{aligned} (2a+2e) + (2b+ 2d) + (2c+ 2e) + (2b+ 2f) &= 18 + 22+ 32+ 26 \\ (2b + 2e) + (2b+ 2d) + (2c+ 2a) + (2b+ 2f) &= 98 \\ (2b + 2e) + \underbrace{2a + 2b+ 2c + 2d + 2e + 2f}_{\text{perímetro do retângulo grande } = 76 } &= 98\\ \underbrace{(2b + 2e)}_{\text{Perímetro}_E} + 76 &= 98\\ \text{Perímetro}_E + 76 \color{red}{-76} &= 98\color{red}{-76}\\ \text{Perímetro}_E &= 22\\ \end{aligned} $$

Euler's Eyes