Euler's Eyes
2026-10-11
牛顿法：用切线逼近方程的根
有些方程没有求根公式。$e^x+x-3=0$ 没有像一元二次方程那样的公式，而三次方程的公式又繁琐得几乎没人使用。这时候的办法是逼近：先猜一个值，看看差多少，再修正猜测。问题在于如何修正得好。
牛顿的例子
在 1669 年的《分析》中，牛顿选了这个方程：
$$y^3-2y-5=0.$$试算之后，他发现根在 $2$ 附近，因为 $2^3-2\cdot2-5=-1$。于是他写 $y=2+p$，其中 $p$ 是还缺的修正量，代入得到：
$$(2+p)^3-2(2+p)-5=p^3+6p^2+10p-1=0.$$既然 $p$ 很小，$p^2$ 和 $p^3$ 就更小。牛顿把它们丢掉，只留下 $10p-1=0$，得 $p=0.1$。新的猜测：$y=2.1$。再用 $y=2.1+q$ 重复同样的想法，得到 $q\approx-0.0054$，依此类推。几步之后，他得到 $y\approx2.09455148$。
几何思想：沿着切线走
丢掉 $p^2$ 和 $p^3$，等于用曲线的切线来代替曲线。在切点附近，切线几乎与曲线重合，而求直线与坐标轴的交点很容易。
从猜测值 $x_n$ 出发，函数 $f$ 的图像在该点的切线是
$$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).$$它在 $y=0$ 处与横轴相交。解出 $x$，就得到新的猜测：
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$用文字说：新猜测 = 猜测 − f(猜测) ÷ f′(猜测)。
用于牛顿的方程，$f(y)=y^3-2y-5$，$f'(y)=3y^2-2$，公式给出：
| 步骤 | $y$ |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 2.1 |
| 2 | 2.0945681 |
| 3 | 2.0945514817 |
| 4 | 2.0945514815 |
每走一步，正确的小数位数大约翻一倍。
例子：平方根
要计算 $\sqrt2$，我们解 $x^2-2=0$。由 $f'(x)=2x$，公式变成
$$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right),$$即猜测值与“2 除以猜测值”的平均。从 $x_0=2$ 开始：$1.5$，然后 $1.41667$，然后 $1.4142157$。巴比伦人在将近 4000 年前就用过这个方法；牛顿法表明，它只是一个更普遍思想的特例。
| 步骤 | x | 残差 x² − 2 |
|---|
同样地，要求 $\sqrt7$，就解 $x^2-7=0$。从 $3$ 开始：$2.6667$、$2.64583$、$2.6457513$。三步就已有七位正确数字。
例子：黄金比
希腊人早就知道一个著名的问题：在线段 $AC$ 上取一点 $B$，使整条线段比较长的部分，等于较长的部分比较短的部分：
$$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{BC}.$$欧几里得称之为把线段分成中外比，并在《几何原本》第六卷命题 30 中给出了尺规作图；用面积表述的版本已经出现在命题 II.11中。设 $BC=1$、$AB=x$，条件变为 $\frac{x+1}{x}=x$，即
$$x^2-x-1=0.$$它的正根就是黄金比 $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\approx1.6180340$。取 $f(x)=x^2-x-1$、$f'(x)=2x-1$，牛顿法给出
$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-x_n-1}{2x_n-1}=\frac{x_n^2+1}{2x_n-1}.$$从 $x_0=2$ 出发，用分数计算：
$$x_1=\frac53,\qquad x_2=\frac{34}{21},\qquad x_3=\frac{1597}{987}\approx1.6180344.$$分子和分母全都属于斐波那契数列 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots$，其中每一项都是前两项之和。比萨的列奥纳多，即斐波那契，在 1202 年的《算盘书》（Liber abaci）中通过一个兔子繁殖的问题发表了它。相邻两项之比趋近于 $\varphi$：$\frac85=1.6$，$\frac{13}8=1.625$，$\frac{21}{13}\approx1.615$。牛顿法在这些比值之间跳跃，每一步大约使正确的位数加倍：$x_3$ 已经有六位小数正确。
例子：没有公式的方程
方程 $e^x+x-3=0$ 混合了指数函数和多项式。这类方程叫作超越方程，在物理、化学和工程中随处可见。取 $f(x)=e^x+x-3$，$f'(x)=e^x+1$，从 $x_0=0.85$ 开始：
$$x_1\approx0.7932,\qquad x_2\approx0.79206,\qquad x_3\approx0.7920600.$$如果是一次方程呢？
用 $3x-6=0$ 来检验这个方法。$f'(x)=3$，任取猜测值 $c$：
$$c-\frac{3c-6}{3}=c-(c-2)=2.$$无论猜测是多少，一步就得到精确答案。这很合理：图像本身就是直线，它的切线就是它自己。
方法何时失灵
这个方法很快，但并非万无一失。如果切线是水平的（$f'(x_n)=0$），它永远不会与横轴相交，除法也无法进行。糟糕的初始猜测可能把序列带离根，或者让它在几个值之间来回跳动。实际使用时，我们从靠近根的地方开始（比如先看图像），当相邻两次猜测在所需精度上一致时就停止。
练习：从 x = 1 出发，对 √2 走一步
$x_1=\frac12\left(1+\frac21\right)=1.5$。残差从 $1^2-2=-1$ 变为 $1.5^2-2=0.25$：猜测跳到了根的另一侧，但离根近多了。
练习：写出求 10 的立方根的迭代公式
解 $x^3-10=0$，$f'(x)=3x^2$： $x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^3-10}{3x_n^2}=\dfrac{2x_n^3+10}{3x_n^2}$。从 $2$ 开始：$x_1=\dfrac{26}{12}\approx2.1667$，而 $\sqrt[3]{10}\approx2.1544$。
资料来源： 牛顿传记，MacTutor · 牛顿–拉弗森法的历史图示。
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