把 2 的幂写成一行，下面写出它们的指数：

$$\begin{array}{c|ccccccccccc} 2^n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024\\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$

上面一行是等比数列：每个数是前一个数乘以 2。下面一行是等差数列：每个数是前一个数加 1。现在试着计算 $16\times64$。16 下面是 4，64 下面是 6。相加：$4+6=10$。10 上面是 1024。确实

$$16\times64=2^4\times2^6=2^{4+6}=2^{10}=1024.$$

上面相乘，就是下面相加。 这就是法则 $2^a\times2^b=2^{a+b}$，也是对数的全部思想。

一个古老的想法

公元前 250 年左右，阿基米德在《数沙者》中为书写巨大的数而发明了一套系统，那时他就已注意到这条法则。1544 年，德国人米夏埃尔·斯蒂费尔在《整数算术》中把两个数列并排写出，正如上面那样，并写道：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，减法对应除法，除以 2 对应开平方。

上面（等比） 下面（等差） 例子
乘 加 $32\times8=256$，因为 $5+3=8$
除 减 $1024\div16=64$，因为 $10-4=6$
平方 乘以 2 $32^2=1024$，因为 $2\times5=10$
开平方 除以 2 $\sqrt{256}=16$，因为 $8\div2=4$

空隙

既然这个想法这么古老，为什么纳皮尔之前没人用它？因为表中有空隙。它能算 $16\times64$，却不能算 $17\times63$：17 和 63 都不在上面一行。16 和 32 之间什么也没有，512 和 1024 之间的空隙更大。有用的表，上面一行必须几乎包含所有的数。

纳皮尔的办法是把 2 换成一个非常接近 1 的数。2 的幂增长得很快，留下巨大的空隙；而例如 $1.0001$ 的幂增长得非常慢：

$$1.0001^{1}=1.0001,\quad1.0001^{2}=1.00020001,\quad\dots,\quad1.0001^{6932}\approx2.0000.$$

步子这么小，上面一行就会经过任何数的附近，下面一行则给出它的"指数"。纳皮尔用的数更接近 1：$1-10^{-7}=0.9999999$，他花了多年时间计算它的各次幂。结果就是第一张对数表。

练习：用 2 的幂表计算 64 × 256 和 4096 ÷ 32。

$64=2^6$，$256=2^8$，所以 $64\times256=2^{6+8}=2^{14}=16\,384$。除法：$4096=2^{12}$，$32=2^5$，所以 $4096\div32=2^{12-5}=2^7=128$。

练习：在 1.0001 的幂组成的数列中，已知 2 的指数是 6932，3 的指数大约是多少？

不必重新计算。由于 $1.0001^{6932}\approx2$，任何数的指数都与它的对数成正比：3 的指数约为 $6932\times\frac{\ln3}{\ln2}=6932\times1.585\approx10\,987$。确实，$1.0001^{10\,987}\approx3.000$。指数之比不依赖于所选的步长；这保证了所有对数表从本质上说都是同一张表，只是比例不同。

来源： John Napier，Mirifici logarithmorum canonis descriptio（爱丁堡，1614）· Michael Stifel，Arithmetica integra（纽伦堡，1544）· Julian Havil，John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）。

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