麦克斯韦的四个方程中，有三个在他之前就以某种形式为人所知：高斯定律、磁场定律和法拉第定律。第四个，安培定律，也是已知的，但它是 不完整的。麦克斯韦给它加上的只是一项：$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$。看起来微不足道。正是这一项让电和磁变成了光。

安培定律

1826 年，法国人安德烈-马里·安培找到了电流与其周围磁场之间的规律。用今天的语言说：沿着导线周围的一条闭合路径，把磁场沿路径的分量加起来，结果与穿过以这条路径为边界的 任意 曲面的电流 $I$ 成正比：

$$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$

“任意"这个词很重要。想一想捕蝶网的网圈：网可以短也可以长，但穿过网圈的导线也穿过网。穿过网的电流与网的形状无关。

打破规则的电容器

现在在电路里接一个 电容器：两块平行金属板，中间隔着空气或真空。电容器充电时，电流 $I$ 沿一根导线流到一块板上，另一股电流从另一块板流出。但两板之间没有电流：那里没有导线，只有空隙。

在电容器前面，绕导线取一条圆形路径。如果网是 平的，切过导线，穿过它的电流是 $I$。如果网是 长的，像一个口袋从两板之间穿过而不碰到导线，穿过它的电流就是 零。同一条路径，同一个磁场积分，两个不同的答案。在这种情况下，安培定律不可能是对的。

两板之间变化的东西

两板之间没有电荷通过，但有东西在变化：电场。当极板积累电荷 $Q$ 时，面积为 $A$ 的两板之间的电场增大：

$$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$

穿过极板面积的电场通量为 $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$，它的变化率为

$$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I.$$

恰好等于导线中流来的电流！麦克斯韦提出，变化的电场就像电流一样起作用。他称之为 位移电流，$I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$，并把它加进安培定律：

$$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$

现在两张网的结果一致了。穿过平网的只有导线中的电流 $I$。穿过长网的没有电流，但有两板之间变化的电场，它贡献的量完全相同。

为什么叫"位移”？

这个名字来自 1861 年的力学模型。麦克斯韦设想，即使在真空中也存在一种介质——以太，当电场变化时，其中的带电粒子会稍稍 位移，就像被拉伸的弹簧。这种微小的位移就是一种真实的电流。以太并不存在，迈克耳孙、莫雷和 爱因斯坦 后来证明了这一点，但这一项比模型活得更久：即使力学解释是错的，自然界仍然遵守这个方程。

电荷守恒

这一项必须存在还有另一个理由。在微分形式下，未经修正的安培定律是 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$。但旋度的散度总是零，所以它会迫使 $\nabla\cdot\mathbf J=0$：电流永远不能在任何地方积累，任何电容器都无法充电。加上麦克斯韦的一项，

$$0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf E).$$

由高斯定律，$\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}$，剩下

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.$$

这就是 电荷守恒：一个区域里的电荷只有在电流流入时才会增加。麦克斯韦的修正正好是让方程组遵守这一原理所需要的。

练习：一个电容器在 2 毫秒内积累了 6 微库电荷。两板之间的平均位移电流是多少？

导线中的平均电流为 $\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{6\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}=3\times10^{-3}$ A，即 3 mA。两板之间的平均位移电流也是 3 mA，尽管没有一个电子穿过两板之间的空间。

练习：为什么在麦克斯韦之前没有人注意到位移电流？

因为除非场变化得非常快，否则它非常小。这一项要乘以 $\varepsilon_0\approx8.85\times10^{-12}$。在极板为 10 厘米乘 10 厘米的电容器中，电场每秒增大 1 000 V/m，产生的 $I_d=8.85\times10^{-12}\cdot1\,000\cdot0.01\approx9\times10^{-11}$ A，不到十分之一纳安。只有在每秒振荡数百万次的情况下，比如 1887 年赫兹的实验中，这个效应才会变得明显。

来源： James Clerk Maxwell，“On physical lines of force”，Philosophical Magazine 21 和 23（1861–1862）· 《费曼物理学讲义》第二卷第 18 章 · Basil Mahon，The Man Who Changed Everything（Wiley，2003），第 7 章。

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