$\pi$ 来自圆的几何，奇数来自算术。两者似乎没有任何理由相遇。但它们确实相遇了：

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$

把奇数的倒数交替加减，结果乘以 4，就是 $\pi$。

一个发现，三次出现

莱布尼茨于 1673 年在巴黎发现了这个公式，当时他还在跟惠更斯学数学。他把结果拿给老师看，惠更斯大为赞赏。这是莱布尼茨的第一个重大发现，也让他确信自己能成为数学家。

他并不是第一个。1671 年，苏格兰人詹姆斯·格雷戈里已经找到了反正切级数，这个公式只是它的一个特例。而大约 250 年前，喀拉拉学派的创始人、印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦就已经发现了同一个级数。当时的欧洲人并不知道这些工作。所以今天它被称为马德哈瓦–莱布尼茨级数或格雷戈里–莱布尼茨级数。

证明

我们用今天的工具，分三步证明这个公式。

1. 一个等比数列的和。 公比为 $-q$ 的等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ 有已知的求和公式。取 $q=t^2$，在第 $N$ 项处截断，加上余项后等式就是精确的：

$$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$

2. 两边从 0 到 1 积分。 左边，$\dfrac{1}{1+t^2}$ 在 0 与 1 之间的面积是 $\arctan1=\dfrac\pi4$，因为 $45°$ 的正切等于 1。右边，每个幂 $t^{2k}$ 给出 $\dfrac{1}{2k+1}$：

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$

3. 余项趋于零。 由于 $1+t^2\ge1$，余项有界：

$$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$

当 $N$ 增大时，$\dfrac{1}{2N+1}$ 趋于零，部分和可以任意接近 $\dfrac\pi4$。

美丽，但缓慢

乘以 4 后，部分和逼近 $\pi$ 的误差至多为 $\dfrac{4}{2N+1}$。这很慢：

项数 部分和 × 4 保证的最大误差
1 4 1.33
2 2.667 0.8
10 3.0418 0.19
100 3.1316 0.02
1000 3.1406 0.002

用了一千项，小数点后第三位还是错的。要得到十位正确的小数，需要数十亿项。这个级数非常适合理解 $\pi$，却非常不适合计算 $\pi$。如今计算出数万亿位的计算机，用的是其他快得多的公式。

增加项数。结果在 π 两侧来回摆动，但误差保证缩小得很慢。

注意图中的部分和在 $\pi$ 两侧来回跳：一个在上，下一个在下。凡是各项递减的交错级数都会这样，所以真实值总是夹在相邻两个部分和之间。

练习：用 100 项能保证多大的最大误差？

上界为 $\dfrac{4}{2\cdot100+1}=\dfrac{4}{201}\approx0.0199$。这是一个保证；100 项时的实际误差约为 $0.01$。

练习：需要多少项才能保证 π 的误差小于 0.001？

需要 $\dfrac{4}{2N+1}<0.001$，即 $2N+1>4000$。取 $N=2000$ 项就够了。

资料来源： 莱布尼茨传记，MacTutor · 詹姆斯·格雷戈里传记，MacTutor · 马德哈瓦传记，MacTutor。

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