如果你知道 $u$ 如何变化、$v$ 如何变化，那么乘积 $uv$ 如何变化？最自然的猜测是把变化相乘：$d(uv)=du\cdot dv$。看起来多么对称、多么优雅……

莱布尼茨也做过同样的猜测。

莱布尼茨的检验与失误

在 1675 年 11 月 11 日那份开始使用字母 $d$ 的手稿中，莱布尼茨问自己：$d(xy)$ 是否等于 $dx\,dy$，$d\!\left(\frac xy\right)$ 是否等于 $\dfrac{dx}{dy}$？他没有轻信优雅，而是用一个例子检验了一下，发现并不成立。几天后，他找到了正确的法则。

这是重要的一课：即使是微积分的发明者也会犯错，而拯救他们的是验算。

你自己也试试。取 $u=x$、$v=x$，乘积是 $x^2$，导数是 $2x$。但导数之积是 $1\cdot1=1$。对不上。

变大的矩形

把 $u$ 和 $v$ 想象成一个矩形的两条边，$uv$ 是它的面积。现在把两条边都稍微增加一点：$u$ 变成 $u+du$，$v$ 变成 $v+dv$。

新面积是 $(u+du)(v+dv)$。它增加了多少？

$$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$

从几何上看，矩形多出了三块：一条面积为 $v\,du$ 的长条，另一条面积为 $u\,dv$ 的长条，以及角上一个面积为 $du\,dv$ 的小方块。

小方块是两个无穷小量的乘积，因此比长条无穷地小。莱布尼茨把它略去，得到

$$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$

而猜测的 $du\,dv$，恰恰是无关紧要的那一块。

用极限的写法

今天我们写 $p(x)=f(x)\,g(x)$，并把增量除以 $h\ne0$：

$$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$

当 $h\to0$ 时，前两项分别趋于 $gf'$ 和 $fg'$。最后一项趋于零，因为 $\dfrac{\Delta f}{h}$ 趋于一个固定的数 $f'$，而 $\Delta g$ 趋于零。因此

$$(fg)'=f'g+fg'.$$

例子

取 $f=x^2$，$g=x+1$：

$$(fg)'=2x(x+1)+x^2\cdot1=3x^2+2x.$$

换一种方法验证：$x^2(x+1)=x^3+x^2$，其导数为 $3x^2+2x$。在 $x=1$ 处，乘积等于 $2$，导数等于 $5$。其中 $f'g$ 贡献 $4$，$fg'$ 贡献 $1$。

f(x) = x²; g(x) = x + 1; p(x) = f(x)g(x).

改变 x，比较 f′g 与 fg′ 两项。它们的和才是乘积的导数；导数之积是另一回事。

莱布尼茨法则

莱布尼茨更进一步，找到了对乘积多次求导的方法。二阶导数为：

$$(uv)''=u''v+2u'v'+uv''.$$

系数 $1,2,1$ 与 $(a+b)^2$ 的相同。三阶导数中出现 $1,3,3,1$，与 $(a+b)^3$ 相同。一般地，系数就是二项式系数，也就是帕斯卡三角形中的数。这个公式至今仍叫作莱布尼茨法则。

练习：求 x(x² + 1) 的导数

取 $f=x$，$g=x^2+1$：$(fg)'=1\cdot(x^2+1)+x\cdot2x=3x^2+1$。先展开得 $x^3+x$，导数相同。

练习：一个矩形边长 u = 3 cm、v = 5 cm。若 u 增加 0.1 cm、v 增加 0.2 cm，面积增加多少？

由法则，$d(uv)\approx v\,du+u\,dv=5\cdot0.1+3\cdot0.2=1.1$ cm²。精确值是 $3.1\cdot5.2-15=1.12$；相差的 $0.02$ 正是小方块 $du\,dv=0.1\cdot0.2$。

资料来源： 莱布尼茨与微积分，MacTutor。

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