高斯最著名的故事发生在他大约 9 岁的时候。为了让课堂忙碌起来， Büttner 教授告诉学生将 1 到 100 之间的所有数字相加。几秒钟后，高斯 将黑板放在桌子上，并写上正确答案：5050。 （这个故事是由第一位传记作者讲述的 高斯的值，帐户中的确切数字可能有所不同，但想法是相同的。）

诀窍：将第一个与最后一个结合，第二个与倒数第二个结合，依此类推。

$$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1 \\ 2S &= \underbrace{101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ vezes}} = 10\,100 \\ S &= 5050. \end{aligned}$$

对于任何 $n$，同样的想法给出

$$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

下图说明了它的工作原理：总和是一个梯子，两个相等的梯子形成一个矩形。

具有 1 + 2 + … + n 个方格的楼梯。将一份面朝下放置并数出矩形。

显示为楼梯的数字 $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$ 是三角形数字。已经 我们在这个网站上讨论它们和 PA：请参阅[三角形数字](/cn/posts/basic/natuais/geometria/geometria-com-sequencias-de-numeros/） 和算术级数.

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