自希腊人以来，人们就知道如何用尺子和圆规构造边长为 3、4、5 和 15 的正多边形，并且 所有这些都使边数加倍（6、8、10、12…）。 2000 年以来，没有人发现另一个。

高斯表明，构建 $n$ 边多边形与计算 $\cos\frac{2\pi}{n}$ 相同 仅整数、四种运算和平方根。尺子和指南针知道如何扎根 正方形：这正是我们在本章中看到的结构 [笛卡尔](/cn/posts/historia/descartes/）。对于 17 边，他达到了

$$\begin{aligned} \cos\frac{2\pi}{17} = {} & \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} \\ & + \frac{1}{8}\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}} \\ \approx {} & 0{,}93247. \end{aligned}$$

它只有平方根，一个在另一个里面。因此，可以构造边长为17的多边形。

规则是什么？高斯发现，当$n$是一个多边形时，可以构造$n$边的多边形。 2 乘以不同费马素数的幂：$2^{2^k} + 1$ 形式的素数，它们是 3、5、17、257 和 65 537。这些与本章中的费马数相同 [欧拉](/cn/posts/historia/euler/），这表明下一个 $2^{32}+1$ 不是素数。在1837中， 皮埃尔·旺策尔证明了无法构造其他多边形。

选择边数。绿色：你可以用尺子和圆规建造它。红：没办法。

直到30边，可构造的有：3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、 20、24 和 30。 7一侧的那个， 例如，它无法构建。另请参阅有关的帖子 正多边形.

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