Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
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Egregium 定理和曲率
在测量汉诺威时，高斯对如何绘制弯曲地球的地图思考了很多。在 1827 中发表了 他将结果称为Theorema Egregium，即“非凡定理”：表面的曲率可以 由住在里面的人来衡量，而不是从外面去看。
结果：在平面中，三角形的内角之和为 180°。在一个范围内，它们加起来达到更多。采取 一个顶点位于北极，另外两个顶点位于赤道的三角形：
赤道处的两个角度为 90°，因为经线与赤道成直角。添加 杆的角度 $\alpha$：
$$90° + 90° + \alpha = 180° + \alpha.$$
任何高于 180° 的值都与三角形的面积成正比，表明该表面是弯曲的。这就是为什么 没有完美的地球平面地图：距离、角度或面积总是存在扭曲。
高斯还意识到，可能存在欧几里得平行公设不存在的几何结构。 值得的。但他没有发表任何内容：在一封来自1829的信中，他说他害怕“维奥蒂亚人的喊叫”，那些不这样做的人 会明白的。非欧几里得几何最终由 Lobachevsky 和 János Bolyai 发表。