Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
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计算素数
欧拉证明了素数永远不会结束（见他的章节）。但有多少呢？ 15岁时，高斯 他利用空闲时间数桌子上的堂兄弟姐妹，一次有一千个。你有没有注意到，接近一个数字 $x$, 或多或少 各 1 个 $\ln x$ 数字是质数。因此估计：表兄弟姐妹的数量最多 $x$, 我们称之为 $\pi(x)$，类似于
$$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$
| $x$ | 表兄弟高达 $x$ | $x / \ln x$ | $\text{Li}(x)$ |
|---|---|---|---|
| 100 | 25 | 21,7 | 29,1 |
| 1 000 | 168 | 144,8 | 176,6 |
| 10 000 | 1 229 | 1 085,7 | 1 245,1 |
| 100 000 | 9 592 | 8 685,9 | 9 628,8 |
| 1 000 000 | 78 498 | 72 382,4 | 78 626,1 |
高斯从未证明过这个估计。它仅在 1896 中由 Jacques Hadamard 和 Charles de la 演示过 Vallée Poussin，今天它被称为素数定理。