在 1650 中，Pietro Mengoli 问平方反比之和值多少钱：

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$

伯努利家族尝试过但失败了。总和增长缓慢：对于 10 项，它给出 $1{,}5498$， 100 项给出 $1{,}6350$，1000 项给出 $1{,}6439$。没有人认得号码 她走了。见图：每个条形都是$N$项的总和。

部分和越来越缓慢地向 π²/6 上升。摆弄控制器或测试一百万个术语。

1735年，欧拉使用了一个大胆的想法。多项式可以从它的根开始写。他 假设该函数也是如此 $\dfrac{\sin x}{x}$，这值得 $1$ 在 $x = 0$ 并抵消 $x = \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \dots$:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots$$

该图显示了这个想法的运作情况。蓝色曲线是$\dfrac{\sin x}{x}$，根部标记为红色。曲线 金色是只有几个括号的乘积：增加因子的数量并看到乘积遵循曲线。

因子越多，欧拉的乘积就越像 sin(x)/x。

如果将所有这些括号相乘，$x^2$ 中的项将是

$$-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots\right)x^2 = -\frac{x^2}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.$$

另一方面，正弦泰勒级数给出

$$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots\right) = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots$$

这两个表达式代表同一个函数，因此 $x^2$ 的系数必须相同：

$$\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644934.$$

没有人想到会看到 $\pi$，这是圆几何中的分数和数字。论据 按照今天的标准，欧拉公式并不严格：将 $\frac{\sin x}{x}$ 写为乘积 一个世纪后，威尔斯特拉斯才证明无穷大是合理的。但结果是对的，而且 欧拉在数字上检查了几个小数位。用同样的方法他证明了 $\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$。

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