Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
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和中的无穷多个素数
欧几里得在公元前 300 左右就已经证明了素数有无穷多个。在1737欧拉中 发现了一个完全不同的证明，它将素数与微积分联系起来。
对于每个素数 $p$，几何级数之和给出
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$
将这些表达式乘以 $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ 每个项的乘积具有以下形式 $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$。 每个自然数都以单一方式写为乘积 素数中，每个分数 $\frac{1}{n}$ 恰好出现一次：
$$\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$
但右侧的总和，即调和级数，无限增长：从 $\frac{1}{3}$ 到 $\frac{1}{4}$加起来超过$\frac{1}{2}$，从$\frac{1}{5}$到$\frac{1}{8}$也有，从 $\frac{1}{9}$ 至 $\frac{1}{16}$ 也是如此，依此类推。如果有有限数量的 素数，左侧将是有限数的乘积，因此是有限数。矛盾： 素数有无限多个。
欧拉进一步证明，即使是总和 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots$ 素数的倒数的增长无限制。素数和分析之间的这座桥梁催生了理论 数字分析。