Euler's Eyes
2026-10-10
数学史
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费马数不是素数
皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 相信所有 $2^{2^n} + 1$ 形式的数字都是素数。对于 $n = 0, 1, 2, 3, 4$ 有效：3、5、17、257 和 65 537 是素数。下一个是
$$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$
手动测试所有分隔线是不切实际的。在1732中，欧拉证明这个数是可整除的 由641。一种优雅的看待方式是使用两种写法 641：
$$641 = 5 \cdot 2^7 + 1 \qquad\text{e}\qquad 641 = 5^4 + 2^4.$$
处理除以 641 的余数（符号 $\equiv$ 表示“保留相同的余数”）：
四步推演（点击进阶）
- 第一种方式，$5 \cdot 2^7 \equiv -1$。求四次方：$5^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$。
- 第二种方式，$5^4 \equiv -2^4$。
- 将步骤2替换为步骤1：$-2^4 \cdot 2^{28} \equiv 1$，即$-2^{32} \equiv 1$。
- 因此$2^{32} + 1 \equiv 0$：该数字是641的倍数。
事实上，4294967297=641×6700417。直到今天，还没有其他数字被知晓 费马素数超出前五名。