在 1750 中，欧拉在给数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的一封信中指出了 凸多面体的顶点 ($V$)、边 ($A$) 和面 ($F$)：

$$V - A + F = 2.$$

用手指或鼠标旋转多面体并检查计算结果：

V、A 和 F 由程序根据绘图本身进行计数。在所有情况下都会给出 2。

查看五个正多面体：

多面体 $V$ $A$ $F$ $V - A + F$
四面体 4 6 4 2
立方体 8 12 6 2
八面体 6 12 8 2
十二面体 20 30 12 2
二十面体 12 30 20 2

该公式可以让您推断出令人惊讶的事情。想象一个由 $p$ 五边形和 $h$ 缝合在一起的球 六边形，其中每个顶点恰好是三个面的交汇点，就像足球一样 经典。它需要有多少个五边形？

  • 面孔：$F = p + h$。
  • 边：每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，每条边由两个共享 面孔。然后$A = \frac{5p + 6h}{2}$。
  • 顶点：每个顶点由三个面共享。然后$V = \frac{5p + 6h}{3}$。

替换 $V - A + F = 2$ 并将所有内容乘以 6：

$$2(5p + 6h) - 3(5p + 6h) + 6(p + h) = 12$$ $$-(5p + 6h) + 6p + 6h = 12$$ $$p = 12.$$

六边形的数量从计数中消失了！ 这种类型的每个球都恰好有 12 个五边形，没有 它有多少个六边形并不重要。经典足球有 12 五边形和 20 六边形 （$V = 60$、$A = 90$、$F = 32$ 和 $60 - 90 + 32 = 2$）。同样的解释也适用于分子 富勒烯，例如$C_{60}$。

经典足球（截角二十面体）：12 五边形，20 六边形，V − A + F = 2。

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