数字$e$可以写成一系列：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

欧拉有勇气在指数中放入一个虚数。将 $x$ 更改为 $i\theta$ 并 使用 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$：

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$

将不带 $i$ 的术语与带 $i$ 的术语分开：

$$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$

括号中的两个级数正是余弦和正弦的级数。这就是如何 的公式 欧拉:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

在几何上，$e^{i\theta}$ 是在半径为 1 的圆上行走的点：实部是 余弦，虚部是正弦。查看点旋转：

点 e^(iθ) 绕圆一周。蓝色投影是 cos θ，金色投影是 sin θ。单击“转到 θ = π”。

现在执行 $\theta = \pi$。作为$\cos\pi = -1$和$\sin\pi = 0$，我们有$e^{i\pi} = -1$，即：

$$e^{i\pi} + 1 = 0.$$

数学中最重要的五个数字出现在一行上（$0$、$1$、$e$、$i$ 和 $\pi$） 以及三个基本运算（加法、乘法和幂）。这就是为什么它经常被称为 “数学中最美的方程”。欧拉公式至今仍在电气工程中使用， 信号处理和量子物理学。

莱昂哈德·欧拉的所有主题 · ← 数字 $e$ 和复利 · 弹簧和微分方程 →

图片来源和来源.