我又想到了电动力学论文的一个推论。相对性原理加上麦克斯韦方程，要求质量是物体所含能量的直接量度。这个想法既有趣又诱人；但我不知道上帝是不是正在笑话这件事，牵着我的鼻子走。

— 阿尔伯特·爱因斯坦致康拉德·哈比希特的信（1905 年夏）

1905 年 9 月，在相对论论文发表三个月后，爱因斯坦给《物理学年鉴》寄去一篇只有三页的补充，标题是一个问句：“物体的惯性取决于它所含的能量吗？“答案是肯定的，而结论——用文字和别的字母写出——就是物理学中最著名的公式：

$$\boxed{E=mc^2.}$$

简化的论证

爱因斯坦设想一个静止的物体，同时向相反方向发出两个相同的光脉冲，每个能量为 $\frac E2$。由于两个脉冲相互抵消，物体保持静止。到这里没什么奇怪：物体损失了能量 $E$。

现在让一个以很小速度 $v$ 经过的人来看同一场景。对这位观察者来说，物体前后都在以同一速度 $v$ 运动。但按照相对论，向前发出的光看起来能量稍大，向后发出的稍小，对于很小的 $v$，总共是

$$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right).$$

对这位观察者来说，总能量也必须守恒。物体除了 $E$ 之外还多损失了 $E\frac{v^2}{2c^2}$，而这份损失只能来自它的运动能量 $\frac12mv^2$。既然速度没变，变的就是 质量：

$$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$

一个物体以任何形式损失能量 $E$，就损失质量 $\frac E{c^2}$。爱因斯坦的结论是：“物体的质量是它所含能量的量度”。质量就是储存起来的能量。

那是多少？

数 $c^2$ 非常巨大：$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。所以很小的质量对应着巨大的能量。仅仅一克：

$$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$

这相当于约 2.1 万吨 TNT 的能量，比广岛原子弹还多，或者一座约 1 万人口的城镇一年的全部用电量。

反过来，日常的能量对应的质量小得可笑。把一升水从 20 °C 加热到 100 °C，水获得约 335 000 J，它的质量增加

$$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$

大约十亿分之四克。没有哪台秤能察觉。所以几个世纪以来，质量看起来是严格守恒的。

太阳与恒星

质量真正变成能量的地方，是原子核。在太阳中心，四个氢核聚变成一个氦核。但账算不平：

$$4\times1.00783\ \text{u}=4.03130\ \text{u}\quad\text{对比}\quad\text{氦的}\ 4.00260\ \text{u}.$$

少了 $0.0287$ u，约为质量的 0.7%。这部分消失的质量以能量 $\Delta m\,c^2$ 的形式释放出来，太阳就是因此发光的。太阳的辐射功率为 $3.8\times10^{26}$ 瓦；除以 $c^2$，它每秒损失

$$\frac{3.8\times10^{26}}{9\times10^{16}}\approx4.3\times10^{9}\ \text{千克},$$

即每秒 400 多万吨。即便以这样的速度，46 亿年来它损失的质量也不到千分之一。

能量与运动

对于以速度 $v$ 运动、质量为 $m$ 的物体，完整的相对论公式是

$$E=\gamma\,mc^2,\qquad\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

静止时 $\gamma=1$，剩下 $E=mc^2$，即 静能。对于小速度，$\gamma\approx1+\frac{v^2}{2c^2}$，于是

$$E\approx mc^2+\frac12mv^2.$$

第二项就是牛顿的老动能。经典物理学是爱因斯坦物理学在慢速情形下的特例。而由于 $v\to c$ 时 $\gamma$ 无限增大，要把有质量的物体加速到光速需要无穷多的能量：有质量的东西都达不到光速。

练习：一辆 1 000 千克的汽车以 108 km/h 行驶，动能是多少焦耳？这使它的质量增加多少？

$v=30$ m/s，$K=\frac12\cdot1\,000\cdot30^2=450\,000$ J。质量增加 $\frac{450\,000}{9\times10^{16}}=5\times10^{-12}$ kg，即十亿分之五克。在日常速度下，质量几乎不变。

练习：质量为 9.11 × 10⁻³¹ kg 的电子，静能是多少电子伏特？

$E=9.11\times10^{-31}\cdot(3\times10^8)^2\approx8.2\times10^{-14}$ J。除以 $1.602\times10^{-19}$ J/eV，约为 $511\,000$ eV，即 0.511 MeV。电子遇到它的反粒子正电子时，两者一起消失，留下两条能量恰好各为 0.511 MeV 的伽马射线。医院里的 PET 检查就是这样工作的。

来源： Albert Einstein，“物体的惯性同它所含的能量有关吗？"，Annalen der Physik 18（1905），收入 John Stachel 编《爱因斯坦奇迹年》· David Bodanis，《E=mc²：一个伟大方程式的传记》。

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