Euler's Eyes
2022-11-21
函授法
对应律是函数主体的现代定义。此外，定义域和图像的概念也很重要，这在函数介绍文章中已经在 René Descartes 的愿景下进行了解释。
向亚伯致敬
尼尔斯·亨里克·阿贝尔出身于一个贫穷的大家庭，是挪威芬多小村庄牧羊人的儿子。在17岁时，他的老师坚持让他阅读伟大的数学著作，包括高斯的《Disquisitiones》（研究）。此时，阿贝尔成功地推广了欧拉仅证明有理幂的二项式定理。
在 18 岁时，他失去了父亲，随着他的成长，他的责任也变得更大 给他的家人，但他仍然继续研究。在1824中，他发表文章证明，如果一个方程的次数大于四，则不存在根据其系数求根的通用公式。这是困扰数学家很长时间的一个疑问，现在已经得到解决。
| 尼尔斯·亨里克·阿贝尔 | 克莉丝汀·坎普（克雷利饰演） |
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它的名字也与阿贝尔群或交换群和一些群有关 他们的研究结果发表在《Jornal de Crelle》杂志上。这个主题非常复杂，不适合儿童读物。如果您好奇，有一本关于数学史的书，其中介绍了阿贝尔群。
在1826中，阿贝尔拜访了巴黎的勒让德和柯西，试图展示他的发现，但没有成功。他在给朋友的一封信中写道：
“每个初学者都发现在这里很难引起注意。我完成了一篇关于某些超越函数类别的广泛论文，但柯西先生并没有屈尊看它”
阿贝尔希望在某所大学获得教职等 这使得他与柯西的记忆有待检验，但他很快就失去了它们，并且被遗忘了。
由于缺乏资源，他在 26 岁时死于肺结核，留下 在代数和数论方面取得了深刻而重要的成果。 他去世两天后，终于收到了一封信，通知他已经发生了 被任命为柏林大学教授。
在 1830，柯西发现了阿贝尔的手稿，该手稿发表于 1841 由法国研究所将勒让德分类为：
“一座比青铜更坚固的纪念碑”
它包含关于椭圆函数的重要概括。
函授法
对应律是一个开放句，表达了这一规律，由下式给出：
$$y=f(x)$$由欧拉在1734处标记，其中这句话定义为：
**定义（对应律）：**给定 $x\in A$，我们确定 $y\in B$，使得有序对 $(x,y)\in f$ 为
$$y=f(x)$$
对应法示例
示例 1： 给定集合 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{1, 2, 3, 4\\}$ 以及开放句 $y = x+1$，可以考虑以下函数：
$$f = \\{(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3,4)\\}$$从$A$到$B,$，其对$(x, y)$验证了定律$y = x + 1$。
功能
**定义（函数）：**我们说$B$中$A$的函数$f$，每一个遵守对应律$y=f(x).$的句子
有些函数根据$x.$的值，从$x$得到$y$的对应律会发生变化—————————————————————————————————————-
这些函数由几个句子定义。
源自拉丁语 functus（函数）来自动词 fungor 的过去分词，它源自 fungi，可以解释为：
- 开展活动。
- 谈论发生了什么。
- 或履行职责的行为。
听和说的行为代表了我们今天所说的功能。这样，René Discards 使用了耳朵作为符号。
Leonhard Euler，在 1734 杂志中评论 Petropol。安妮用
$$f(x)$$标记了一个函数
功能示例
示例 2： 令 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足以下条件
由两个句子定义的函数：
- 当$x$为负时，$y=1$；
- 当$x$为正或等于0时，为$y=-1$。
领域
一个重要的概念是域，我们将其定义为：
定义（域）：设$\mathcal{R}$是$A$在$B,$中的关系，我们称对应律的集合$\mathcal{D}$或$\mathcal{D}(f)$的$\mathcal{R}$的域，有序对的第一个元素属于$\mathcal{R}$：
$$f:A \longrightarrow B$$在这种情况下，$\mathcal{D}(f)=A$
- 域 $\mathcal{D}(f)$ 是图表上横坐标点的集合。
- 横坐标点的集合，使得它们所携带的垂直线与图形相交。
图像
另一个重要的概念是所有权，我们将其定义为：
定义（图像）：设 $\mathcal{R}$ 为 $B,$ 中 $A$ 的关系，我们称对应律的集合 $\mathcal{Im}$ 或 $\mathcal{Im}(f)$ $\mathcal{R}$ 的图像：
$$f:A \longrightarrow B$$其中该集合由元素 $y\in B$ 构造，其中存在一些 $x\in A$，例如 $(x,y)\in f$。
- Image $\mathcal{Im}(f)$ 是图表上点的坐标集
- 点的坐标集，使得水平线 他们对图进行了相交。
共域
定义（Codomain）：设 $\mathcal{R}$ 为 $A$ 在 $B,$ 中的关系，我们称对应律的集合 $\mathcal{CD}$ 或 $\mathcal{CD}(f)$ $\mathcal{R}$ 的范围：
$$f:A \longrightarrow B$$在这种情况下，$\mathcal{CD}(f)=B$
集合示例
示例 3： 给定集合 $A = \\{0, 1, 2, 3\\}$ 和 $B = \\{1, 2, 3, 4,5,6\\}$ 以及开放句 $y = x+1$，可以考虑以下函数：
$$f = \\{(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3,4)\\}$$从$A$到$B,$，其对$(x, y)$验证了定律$y = x + 1$。
- $\mathcal{D}(f) = \\{0, 1,2,3\\}=A$
- $\mathcal{Im}(f) = \\{1,2,3,4\\} \subseteq B$
- $f$ 的图像是 $B$ 的子集
- $\mathcal{CD}(f) = \\{0,1,2,3,4,5,6\\}=B$
函数的存在性和唯一性
当以下条件已知时，函数定义明确（存在且唯一）：
- 域 $\mathcal{D}(f)$
- 范围 $\mathcal{CD}(f)$
- 对应定律 $y = f(x)$
然而，我们只提出开放句$y =f(x)$来引用函数$f.$。在这种情况下，可以理解：
-
$\mathcal{D}(f)$ 是由实数构成的集合，其 图像是实数，更具体地说：
-
$x\in \mathcal{D}(f) \quad \Rightarrow \quad y=f(x)\in \mathbb{R}$
-
如果$x$属于函数定义域的集合，则意味着句子$y=f(x)$属于实数集合。
练习
1。建立以下关系的域和图像：
- a) $\\{(1,1), (1,3), (2,4)\\}$
- b) $\\{(-2,4), (-1,1), (3,-7),(2,1)\\}$
- c) $\\{(2,1), (1,-3), (5, \sqrt{2})\\}$
- d) ${(1+\sqrt{2}, \sqrt{2}), (1-\sqrt{3},1)}$
- e) ${(3,1/2), (5/2,-1), (3/2,0)}$
2。令集合$A = \\{-2,-1,0.1.2.3.4.5\\}$、$B = \\{-2,-1,,0,1,2\\}$和$R$为$A$在$B$中的二元关系，定义为
$$x R y \Leftrightarrow x = y^2$$要求：
a) 枚举 R 中的有序对
b) 枚举R的域和图像的元素
c) 绘制 R 的笛卡尔图
这些是关系的概念。等待接下来的帖子。