介绍

到目前为止，我们已经将自然数定义为 1, 2, 3, 4, … 并认为零是位置系统中的数字。零仅被定义为在数字表示中指定空方格。

下一步是将其视为自然数的一部分。这个想法是使用这个概念来扩展这个集合的属性。使用或零作为自然数还可以更容易地开发公式和定义。

用零我们可以定义空集，它对于集合操作很有用。例如，给定一个集合，其中没有任何内容的集合被认为是一个空集合。

零

**定义：**零是空集中元素的数量，我们可以用符号 0 来表示数字零。

因此，零是用于计数的数字的一部分，或者零是自然数的一部分。

与零相加

接下来，我们观察到：

  • 如果在一个空集合中放置一个值，我们就有一个包含一个元素的集合。
$$1 + 0 = 1 \quad \text{或} \quad 0 + 1 = 1$$
  • 1 是零的后继。

通常，在一个空集合中，当我们放入 n 个元素时

$$n + 0 = n \quad \text{或} \quad 0 + n = n$$

当我们将零添加到空集时，我们有：

$$0 + 0 = 0$$

减法为零

在一组 n 个元素中，当我们从一组 n 个元素中减去相同的 n 个元素时：

$$n - n = 0 \quad \text{对于每个自然数 n.}$$

也适用于零：

$$0 - 0 = 0$$

与零相乘

在关于基本操作的帖子中，我们看到：

  • 1 x n 意味着我们得到 n 一次
  • 2 x n 意味着我们得到 n 两次（或两倍 n）
  • 很快。

有了这个， 0 x n 意味着我们得到的 n 不是一次或

$$0\times n = 0 = n\times 0 \quad \text{到任何自然数 n.}$$

尤其是，

$$0\times 0 =0 $$

从零开始形式化

**定义：**包含零的自然数集由下式给出：

$$\mathbb{N} ={0, 1, 2, 3, 4, \dots}$$

零的符号是为了在位置表示中表示一些空的东西。

第一次报道使用零是在印度，从 7 世纪开始，数学家如 Brahmagupta、Mahavira 和 Bhaskara。

马哈维亚在一本书中对零的描述如下：

“……一个数字乘以零为零，减去零后数字保持不变”

在大学水平的数学中，零被非常小心地对待，因为我们不能将一个数字除以零以及一些可以用零获得的不确定性。

为什么零非常重要？

使用零是古代数学家的忌讳，因为当我们使用不当时，我们可能会犯严重的错误。数学最注意的是使用的假设。这涉及确定或不确定的结果。人们玩不确定性的经典游戏是：

$$ \begin{aligned} 1 &= 1\\ 1 \color{red}{-1}&= 1^2\color{red}{-1^2}\\ 1 -1&\overset{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}{=} (1-1)(1+1)\\ 1~.~\frac{(1 -1)}{\color{red}{(1 -1)}} &= \frac{(1-1)(1+1)}{\color{red}{(1 -1)}}\\ 1 &\overset{\text{what?}}{=} 2 \end{aligned} $$

我们已经达到了一个荒谬的地步，但为什么呢？

这个结果是由于类型的不确定性：

$$\frac{0}{0}$$

进一步来说：

$$\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$$

所以要非常小心零，因为你会得到荒谬的结果。