几何学的主要著作，欧几里得的书《几何原本》，对直线和圆有几个结果。在这篇文章中，我们将展示该主题的几个结果。

基本设置

下面我们定义一些使用圆的基本术语。

中心

**定义（中心）：**是与圆上任意点距离相同的点。

射线

**定义（半径）：**是从中心到圆周的任何直线段。

细绳

定义（弦）： 是两端位于圆上的任何直线段。

直径

**定义（直径）：**是穿过圆心的弦。值得记住的是，它是圆中最大的弦。该弦等于半径的两倍。

$$D = 2R$$

切线

当使用直线和圆时，我们需要一些属性。第一条是切线。

**定义（切线）：**在平面中，我们说圆的切线，即在一点处截取的线。交点是切点 (T)。

引理 1：

当且仅当直线垂直于在该点结束的半径时，直线与圆在一点相切。

割线

其中第二条是割线。

**定义（割线）：**在平面中，我们称圆的割线，即在多个点处截取的线。

引理 2：

直线与圆相交当且仅在两点相交。

提出的问题

  1. 证明，给定一个角，其圆心位于 角平分线（角的顶点除外）且半径等于从该中心到角的一侧的距离的圆与（角的）两侧都相切。此外，与角度两侧相切的每个圆的圆心都在 角平分线，并且该圆在角度内部，除了两个接触点之外
  1. 证明，给定两个同心圆，如果较大同心圆的弦与较小同心圆相切，则接触点是弦的中点。

两个圆的位置

给定平面中的两个圆，相对于它们的位置有一些属性。在这种情况下，我们有 3 种情况：

  • 圆圈相交；
  • 圆相交于一点；
  • 圆相交于两点。

切线圆

**定义（相切圆）：**在平面中，当它们相交于一点时，我们称两个相切圆。

外部切线 内部切线

外部切线

引理 3： 给定平面上的两个圆，如果：

  • 它们的中心之间的距离大于半径之和；
  • 所以它们不相交；
  • 每一个都在另一个之外。

在这种情况下，中心之间的距离 $(C_1, C_2)$ 大于半径之和 $(R_1,R_2)$。

$$d(C_1, C_2) > R_1 + R_2$$

引理 4： 给定平面上的两个圆，如果

  • 它们的中心之间的距离等于半径之和；
  • 所以它们是外切线。

在这种情况下，中心之间的距离 $(C_1, C_2)$ 等于半径之和 $(R_1,R_2)$。

$$d(C_1, C_2) = R_1 + R_2$$

内部切线

引理 5： 给定平面上具有不同半径的两个圆：

  • 如果它们的中心之间的距离等于半径之间的正差；
  • 所以它们是内切线。

引理 6： 给定平面上两个半径不同的圆，

  • 如果它们的中心之间的距离小于半径之间的正差，
  • 那么半径较小的圆在另一个圆的内部。

干燥剂

引理 7： 给定平面上的两个圆，如果：

  • 它们的中心之间的距离小于半径之和；
  • 大于其差值的绝对值；
  • 所以它们恰好相交于两点

到目前为止，就是这样。等待接下来的帖子。